∛2(2の三乗根)は無理数であることを示せ。

という問題の解答を作ったのですが、論理が通っているか確認していただけませんか？
お願いします。

(証)
背理法を用いて示す。
1<∛2<2より、∛2は整数ではない。
ゆえに、∛2が有理数であると仮定すると
∛2=q/p
(p,qは正の整数。ただし、p≠1であって、qはpで割り切れない)
とおける。これより
2p^3=q^3
この式の両辺はともに正の整数である。
ここで、この左辺はpで割り切れるが、右辺はpで割りきれない。
よってこの仮定は矛盾する。
ゆえに、∛2は無理数である。