定数aに対して
y=ax^3 -2x^2 +3, y=x^3 +ax^2 -4x
の二つの曲線が、ちょうど2点を共有するようなaを全て求めよ。

という問題で、aが分離できないので上手いやり方がわかりません。
二つの式を連立して
(a-1)x^3 -(a+2)x^2 +4x +3 =0
この方程式が解を2個持てばよい、と考え、
ひとつはa=1のとき、　二次方程式となりD>0なのでちょうど2点を共有する、というのがわかりました。
f(x)=(a-1)x^3 -(a+2)x^2 +4x +3 とおき、 a-1≠0の場合を考えて
この関数がx軸と2点で交わるとき、1点ではx軸と接するので、そのx座標をαとすると
f(α)=f'(α)=0　となるので、
(a-1)α^3 -(a+2)α^2 +4α +3=0
3(a-1)α^2 -2(a+2)α +4 =0
この2式を満たすaを求めてしまえばよいとは思うのですが、どう計算すればよいのかわかりません。