ここで、Galois理論の応用として代数学の基本定理、即ち複素数体が代数的閉体であることを証明しよう。
次の事実を基礎とする。

（1）中間値の定理より実係数の奇数次の多項式は実根を持つ。

（2）複素係数の２次多項式は複素数体において根を持つ。