命題
G を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。
X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。
このとき G は唯一の非自明な（即ち単位群でない）アーベル正規部分群 H を持つ。
H は G の唯一の極小正規部分群（>>412）であり基本アーベル群（>>406）である。

証明
G は X 上原始的だから X 上推移的で |X| ≧ 2 である。
よって、>>437より G ≠ 1 である。
よって、>>413より G は極小正規部分群（>>412）N を持つ。
>>436より N は基本アーベル群である。
>>438より N は X に推移的に作用する。
>>440より N は正則に X に作用する。
よって、|N| = |X| である。

H ≠ 1 を G のアーベル正規部分群とする。
N = H を示せば良い。
>>438より H は X に推移的に作用する。
よって、>>440より H は正則に X に作用する。
よって、|H| = |X| である。
N は G の極小正規部分群だから H ∩ N = 1 または H ∩ N = N である。
H ∩ N = 1 なら HN は G のアーベル正規部分群であり |HN| = |H||N| = |X|^2 となる。
他方 NH は正則に X に作用するから |NH| = |X| である。
これは矛盾である。
よって、N ∩ H = H である。
よって、H ⊂ N である。
|H| = |N| = |X| であるから H = N である。
証明終