命題
N をアーベル群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
G = (N⊿H)_ψ （>>452）とする。
φ：G → Sym(N) を>>457で定義した準同型とする。
このとき Ker(φ) = {0}×Ker(ψ) = {(0, s)； s ∈ Ker(ψ)} である。

証明
φ(x, s) = 1 とする。
任意の u ∈ N に対して φ(x, s)(u) = ψ(s)(u) + x = u
よって、φ(x, s)(0) = x = 0
よって、φ(0, s)(u) = ψ(s)(u) = u
よって、ψ(s) = 1
よって、s ∈ Ker(ψ)

逆に s ∈ Ker(ψ) のとき φ(0, s)(u) = ψ(s)(u) = u
よって、φ(0, s) = 1
証明終