補題
X を位相空間とする。
A と B を X の部分集合で B ⊂ A とする。
B の X における閉包を B~ とする。
このとき B~ ∩ A は部分空間 A における B の閉包である。

証明
A における B の閉包を B’とする。
B ⊂ B~ ∩ A であり B~ ∩ A は A の閉集合であるから B’⊂ B~ ∩ A である。
逆の包含関係を示せば良い。
x ∈ B~ ∩ A のとき x ∈ B’を示せば良い。
V を x の A における任意の開近傍とする。
V = U ∩ A となる X の開集合がある。
x ∈ B~ で x ∈ U だから U ∩ B ≠ φ である。
U ∩ B = U ∩ A ∩ B = V ∩ B だから V ∩ B ≠ φ である。
よって、x ∈ B’である。
証明終