命題
K を可換体とする。
L = K(α_1、．．．、α_n)（過去スレpart4の539）とする。
このとき α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立（>>119）であるためには
n = tr.dim L/K（過去スレpart5の36）となることが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
n = tr.dim L/K とする。
α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立でないとする。
n = tr.dim L/K であるから α_1、．．．、α_n の中に K 上代数的でないものがある。
よって、過去スレpart5の34より {α_1、．．．、α_n} の部分集合で
L/K の超越基底（過去スレpart5の9）であるものが存在する。
{α_1、．．．、α_n} は L/K の超越基底でないから tr.dim L/K ＜ n となり矛盾である。
証明終