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高校数学は非常にいい加減な論証でごまかしている

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0001１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 18:34:45.63
http://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/13524/1/3_p65-72.pdf

高等学校の数学の教材として微積分がはじめて登場してから約40年経過した。
この間に，微積分は高校数学の中心に位置づいているようになった。
しかし高校の微積分の教え方については批判も多い。
大学で数学を教えているものの多くは何らかの意味で高校の微積分については不満ないし，不充分さを感じているといってもいいすぎではないだろう。そのような意見の一つとして
吉田洋ーのものをみてみよう。
「高校で微積を課することには，じつは，わたしは反対なのである。“論証"・論証"とやかましくいっておきながら，微積のところへ来ると，とたんにいいかげんな議論でごまかしている。
また高校ではごまかさざるを得ないだろう。高校数学の目的は生徒のあたまを混乱させることにあるのだろうか。(中略)とりあえず，高校数学から微積を追放することを提唱するだけに止める。
そうすると微積は大学一年で初めて学ぶことになるが，その際できるなら厳密な論理によったものを教えることにしたい。
と同時に，あまりごたごたすると学生が理解しにくいだろうから，あっさりとしたものにしなければならない。y)

この文章の「高校ではごまかさざるを得ないだろう。jという判断に注目したい。また高校の数学教科書の著者である小平邦彦も次のように言っている。
「高校数学を学んだ人は実数とはどんなものか一応知っているわけである。
しかレ高校数学の実数論は現代数学の立場から見れば厳密性に欠ける点があって，本講座の基礎としては不十分である。J2)
高等学校の現場でも，微積分廃止論ではないが，厳密さについては，上の宮人と同様の意見がある。
数学教育協議会の浅野芳夫は「高校で極限をあつかうことにどれ程の意味があるかも疑問です。
高校で厳密な論理展開ができないものとすれば，中途半端な形の「極限論」にはふれない方がよいともいえます。J3)と発言している。
0002１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 19:22:56.46
厳密でなくとも極限は「わかる」し、厳密であっても理解できない人はいる（むしろその方が遥かに多いと思うのだが）
0003１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 19:25:17.11
これ以上高校数学をややこしくしたら
大変なことになるぞ
0004１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 19:32:41.29
確かに、高校のやり方で理解できない人がεδ式なら理解できるかというと、それはねーだろ。
高校の段階で微積分を撤廃するとして、文系学生に安心して学習してもらう以外のメリットって何だろう？
0005１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 19:36:33.07
そんなこと言い出したら高校の物理も化学もかなりいい加減な内容だしな全部廃止するかwww
0006１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 22:35:12.84
>>1を廃止
0007１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 22:40:04.50
数学科を志望する生徒は高校在学中に解析概論を読破すること、物理学科を志望する
生徒はランダウを読破することを必須要件にすれば。
0008１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 22:49:37.09
物理数学、応用数学、そんな感じのものを新設でおｋ
昔の工業数学が割と近いかもｗ
むしろ、数学は芸術科目扱いにでもして縮小で良いよ
0009１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 23:01:46.90
別に今のままでいいやん
数学の才能あるやつは自分で勉強すればいいだけの話
0010１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 23:30:09.62
いい加減で適当なのがいいんじゃん
高校の数学物理化学
偉い先生というのは自分を基準にして考えるから困る
0011１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 23:31:31.52
微分積分が計算できるってのと厳密な議論が必要ってのは別だよな
歴史的には計算できる→厳密な議論って辿って行ったわけだし
適当な微積分から大学に入ってε-δは自然な勉強法なんじゃね？
0012１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 23:45:34.91
微分方程式までいくと厳密性はあやしくなるが、
それ以前までなら、充分厳密だと思う。
0013１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 23:53:40.55
コーシーが解析学の講義でlim記号を初めて導入したとき（ε-δ論法はまだない）
その難解さ故に学生からは大不評だったらしい
この上、生まれて初めて触れる微積分がε-δ論法で書かれていたとしたら…
0014１３２人目の素数さん2012/02/21(火) 23:53:42.88
数学的厳密性にはね、レベルがあるんだよ。
公理的集合論にもとずくもの。
素朴集合論にもとずくもの。
それ以外のものにもとずくもの。

大学一年になったら、素朴集合論にもとずくレベルになるだけ。
ほとんどの数学はそれで十分。

高校数学はその議論の範囲で問題の無いレベルの
厳密性にものずいている。

すでに削除された微分方程式の解法はかなりゆるかったが。
0015１３２人目の素数さん2012/02/22(水) 00:02:20.52
吉田洋一の微分積分学（培風館）持ってるけど、これそんなに厳密か？
0016１３２人目の素数さん2012/02/22(水) 00:02:59.19
イプシロンデルタは、まだ公理的集合論が存在しなく
素朴集合論がではじめたころ、
素朴集合論レベルの厳密性をあたえるためにもちだしたもの。

大学一年生に公理的集合論を教える余裕があるなら、
微積分は、超準解析的に組み立てる事もできる。
それだとイプシロンデルタにもとずく微積分では難しい問題の
いくらかをやさしく解く事ができる。しかし、どっちか片方だけ
教育するなら、イプシロンデルタを教育するほうが良い。
なぜなら、既にいろんな数学がイプシロンデルタの言語で書かれているから。
イプシロンデルタは言語ですね。
0017１３２人目の素数さん2012/02/22(水) 00:04:07.81
>>16
そしてみんな予備校の先生になるわけですね
0018１３２人目の素数さん2012/02/22(水) 00:06:35.93
ε-δは言語というか、誤差評価込みの実用（？）技でもあるし。
0019１３２人目の素数さん2012/02/22(水) 01:15:11.74
厳密な数学の代名詞として公理的集合論が使われているようだが、
必ずしも公理的集合論だけが厳密な論証の数学というわけではない。
流行の圏論による基礎付けや型理論による基礎付けもある。
むしろこれらに共通する一階述語論理が重要。

＞大学一年生に公理的集合論を教える余裕があるなら、
＞微積分は、超準解析的に組み立てる事もできる。
ここも超準解析は公理的集合論とは大して関係がない。
重要なのは一階述語論理上の理論として扱うこと。
じっさい圏論でも超準解析は扱える。
0020１３２人目の素数さん2012/02/22(水) 06:09:25.59
＞“論証"・論証"とやかましくいっておきながら，微積のところへ来ると，とたんにいいかげんな議論でごまかしている。
大学の数学だって、基礎論の人から見れば
「“論証"・論証"とやかましくいっておきながらごまかしている」と見えるだろう。

＞高校数学の実数論は現代数学の立場から見れば厳密性に欠ける点があって
大学数学も現代基礎論の立場から見れば厳密さに欠ける点がある。

そして、基礎論の人々の議論でさえ、
定理自動証明などをやっている人の目にはごまかしていると映る。

要するに厳密さには色々なレベルがあるのであって、
現代数学が「絶対厳密」などというわけではないのだ。
0021１３２人目の素数さん2012/02/22(水) 07:42:15.49
稲
0022１３２人目の素数さん2012/02/22(水) 22:12:31.73
アホか
積分なんて物理の応用から先に出てきて
厳密は後だろ、
フーリエ変換なんて「きっと多分おそらくこーなる！！！！！！！！！」だろ、
0023１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 00:30:50.09
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0024１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 00:40:17.52
>>22
アホはおまえだ。
厳密さがあったから物理へ応用できたんだろうが。
それに積分は紀元前からあったわけで、物理はあとあと
0025１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 01:08:18.93
積分のｄｘとか
0026１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 01:50:37.07
＞ 厳密さがあったから物理へ応用できたんだろうが。 

まさか
0027１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 08:03:41.98
高校数学で「実数とは何か」とか実数の基本的な性質の「証明」をごまかしているというのなら、
実数をデデキントの切断として定義する大学数学では、
切断の定義に出てくる「集合とは何か」とか集合の基本的な性質の「証明」をごまかしている。
実数をカントールの収束列として定義する大学数学では(ry
0028１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 16:00:49.54
厳密＝理解するのが難しい

ごまかす＝分かりやすい

こういう認識おk？、大学数学は理解するのが難しい。。
0029１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 18:23:51.77
厳密でもごまかしていても分かる人には分かるらしい。高校数学に限らず現代数学の最先端の分野でも。
反対に厳密な論証にうんざりしてしまう（＝直観が論理に追いついていない）人がごまかしを
わかりやすいと感じるのは結果だけを暗記しやすいから。本当の意味で理解しているかといえば
微妙だ。
0030１３２人目の素数さん2012/02/23(木) 19:22:37.97
極限はまず 1/n や (1/10)^n が n→∞ で 0 に近づくって説明しておいて
他の数列に対しても定義を広げていく方向性でやるとか…
0031１３２人目の素数さん2012/02/24(金) 07:37:21.04
数学的な厳密さが物理で活きる例ってあるの？
0032１３２人目の素数さん2012/03/01(木) 09:43:02.39
微積に限らず何を既知として良いのか・どの程度説明を省いても良いのか
が曖昧すぎるから模範解答なんかをひたすら真似せざるを得なくなる。
0033１３２人目の素数さん2012/03/01(木) 10:48:33.87
>>32
あー…、中学の幾何の証明は正にそれだわ
0034１３２人目の素数さん2012/03/03(土) 17:11:43.92
今は、εδではない高校の流儀でも厳密性が保てるということになってる。
厳密性を議論しだすと、積分はルベーグでないとだめになってしまうが、
物理とかなら、古典的に無限小の考え方とリーマン積分でこと足りる。
0035１３２人目の素数さん2012/03/03(土) 17:18:30.71
Keislerって人が、　高校生向けに無限小解析の教科書（pdfファイルだったかも？）書いてた
0036１３２人目の素数さん2012/03/04(日) 07:27:30.40
>>20
自動証明とかやってそうな情報系の K. Kojima さんがこんなことを呟いていたぞ：

ふつうの数学では自明としてすませてることを coq とかでやると大変だからといって，それをもって「本当は自明じゃない」とか言い出すのはどうなのかと思う
その証明しようとしている事実そのものが非自明なんじゃなくて，その事実を形式的な体系の上に実装するのが大変なだけ
0037１３２人目の素数さん2012/03/14(水) 02:45:20.41
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0043１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 04:15:24.80
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0044１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 04:29:46.27
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0045１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 04:30:05.92
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0046１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 04:30:47.40
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0047１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 07:40:49.75
>>1
小学校で教わる円の面積の公式は、図形的に納得すれば、それで良いと思う。
中学では、素因数分解の一意性が、まるで自明のことのように扱われる。
これが大きな問題だ。
0048１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 16:01:26.04
ルベッグの測度論での証明を暗記させられるのは院だから、中学じゃそのまま使えばいい。
0049１３２人目の素数さん2012/03/18(日) 16:54:42.92
×ルベッグ
○るべっく
0050１３２人目の素数さん2012/03/19(月) 09:09:34.09
ルベーグじゃないの？フランス語読みは知らんけど
0051１３２人目の素数さん2012/03/19(月) 11:17:32.17
何十年も前からルベーグで通ってるのに今更変更されても混乱するだけ
一字違いの名辞なんていくらでもあるのだから、混乱する可能性は、今はなくても
将来出てくる
そういうことを予防するのは現在の人の責任
つまり、旧来親しまれた地名を変な風に変えたがるバカな小役人は死ねということで

厳密でないといけないかどうかは、関る主体によって決まること
専門家なら厳密でないといけない
高校生ならそんなことは軽視してよい　物理化学が教えられなくなるから
大体論理の積み重ねを追ってゆく能力がまだまだ低く、
まさにそれをこそ鍛えている最中の高校生であるわけだから
鍛えるためには初歩的な問題が必要
いきなり非常に多くの論理の連鎖を追わせると多くの高校生が挫折する
そこまで高校段階で過負荷トレーニングをさせるべきではない
適度な負荷でトレーニングすべきであるから、高校段階では厳密性は軽視してよい
0052馬鹿院生2012/03/19(月) 19:22:34.08
>>47
自明なこととしておしえていることは
山のようにあります。
しかし、それでいいと、ポントリャーギン
も書いています。
0053１３２人目の素数さん2012/03/19(月) 20:58:41.90
Henri Léon Lebesgue FRS[1] (French pronunciation: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ]; June 28, 1875 – July 26, 1941)

あんり・れおん・るべぐ
0054１３２人目の素数さん2012/03/20(火) 02:02:26.51
鳩の巣原理は、自明のことなの？
それとも証明が必要？
0055１３２人目の素数さん2012/04/03(火) 22:30:14.53
春秋時代
0056１３２人目の素数さん2012/04/20(金) 02:09:47.45
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0057１３２人目の素数さん2012/04/20(金) 20:42:54.48
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0058１３２人目の素数さん2012/04/21(土) 17:41:41.20
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0062１３２人目の素数さん2012/04/24(火) 23:50:04.58
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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0063１３２人目の素数さん2012/05/06(日) 13:34:58.39
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0064１３２人目の素数さん2012/05/08(火) 19:54:58.20
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0065１３２人目の素数さん2012/05/10(木) 00:05:33.66
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0066１３２人目の素数さん2012/05/19(土) 20:53:12.98
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0067１３２人目の素数さん2012/05/20(日) 20:26:50.85
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0068１３２人目の素数さん2012/05/20(日) 21:24:21.48
ウェブサイト（http://erectuswalksamongst.us/Chap9.html）につき
そこでいう“Caucasian”は、
　　 {Caucasians} ⊂ {Caucasoids}
である。また、そこでいう“Asian”は、「Mongoloid」の定義いかんでは
　　 {Asians} {Mongoloids}C ≠ Φ
　（{Mongoloids}C は {Mongoloids} の余集合を表わす）
という集合をつくる。簡単に分かることであるが、
　　 {Caucasians} {Asians} ＝ Φ
である。　そして、次のような集合（集団） S が存在し得る：
　　 S ⊂ {Asians} s.t. S ⊂ {Caucasoids}＼{Caucasians} ．

このような集団 S に属する人々としてどのような例がありますか？

0069１３２人目の素数さん2012/05/26(土) 21:11:52.56
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0070１３２人目の素数さん2012/05/28(月) 00:13:21.66
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0071１３２人目の素数さん2012/06/03(日) 15:31:13.02
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0072１３２人目の素数さん2012/06/07(木) 23:25:30.97
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　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0075１３２人目の素数さん2012/06/26(火) 22:55:38.68
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0076馬鹿描2012/07/22(日) 18:40:04.98
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0077１３２人目の素数さん2012/09/23(日) 19:50:18.87
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0078１３２人目の素数さん2012/09/23(日) 21:22:16.96
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0079１３２人目の素数さん2012/09/24(月) 20:21:40.41
高校の勉強なんて決められたルールつかって処理能力試すのが目的じゃないの？
目的が違うなら厳密さなんて必要ないし問題にもならないんじゃ？
0080１３２人目の素数さん2012/09/29(土) 00:30:21.45
>>1
これは禿同。

>>79
うん。そうなんだろうね。
0081１３２人目の素数さん2012/10/09(火) 03:56:33.98
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0082↑2012/10/09(火) 07:41:29.83
運営乙
0083１３２人目の素数さん2012/10/09(火) 12:51:03.21
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0084１３２人目の素数さん2012/10/09(火) 13:07:13.71
　ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（ 　　( 　・ω・）　ブヒ
　 しー し─Ｊ
0085１３２人目の素数さん2012/11/07(水) 10:20:01.80
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0086令嬢2012/12/19(水) 20:02:42.26
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0087１３２人目の素数さん2013/01/18(金) 23:07:04.35
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0088１３２人目の素数さん2013/02/09(土) 20:24:03.17
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0089狢 ◆yEy4lYsULH68 2013/02/09(土) 21:40:42.66
コレは一体どういう意味なんですかね？
★★★『阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ』★★★
何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。日本の学歴
階層構造というのか、或いは理学部が他所を見下してるのか、極めて不
思議な価値観を醸し出してますわナ。コレをもし：
★★★『日本人如き（のサル）でも数学者になれたんだろ』★★★
な〜んてどっかの国の誰かが言ったら怒るんですかね、ソレとも褒め言
葉なんで嬉しがるべきなんですかね？

ケケケ狢

>785 ：１３２人目の素数さん：2013/02/02(土) 16:27:31.55
> >>782
> 極端な平等主義？
>
> あほか。
> だから阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ。
>
> 東大、京大って言ったって、
> 高校数学の学力試験を勝ち抜いたくらいで大きい顔をされてもね。
> （しかも、数学では差がつかずに、他の古文、漢文、日本史、世界史などの
> 教科で得点に差がついただけ）
>
> 結集する意味なし。
> 別にカリキュラムに沿ってお勉強してるんじゃあるまいし。
> 天才はどこでも育つ。個人の問題だから。
>
> 余裕のあるところで、自分で好き勝手なことをやってればいい。
> 特にこれからの時代、既存の難問を解いてるだけの数学者よりも
> 問題を見つけ出す数学者が必要とされる。
> 秀才型数学者は黙ってろ、って。
>
0090１３２人目の素数さん2013/02/09(土) 21:45:43.45
なるほど。
0091狢 ◆yEy4lYsULH68 2013/02/09(土) 21:53:36.04
コレは一体どういう意味なんですかね？
★★★『阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ』★★★
何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。日本の学歴
階層構造というのか、或いは理学部が他所を見下してるのか、極めて不
思議な価値観を醸し出してますわナ。コレをもし：
★★★『日本人如き（のサル）でも数学者になれたんだろ』★★★
な〜んてどっかの国の誰かが言ったら怒るんですかね、ソレとも褒め言
葉なんで嬉しがるべきなんですかね？

ケケケ狢

>785 ：１３２人目の素数さん：2013/02/02(土) 16:27:31.55
> >>782
> 極端な平等主義？
>
> あほか。
> だから阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ。
>
> 東大、京大って言ったって、
> 高校数学の学力試験を勝ち抜いたくらいで大きい顔をされてもね。
> （しかも、数学では差がつかずに、他の古文、漢文、日本史、世界史などの
> 教科で得点に差がついただけ）
>
> 結集する意味なし。
> 別にカリキュラムに沿ってお勉強してるんじゃあるまいし。
> 天才はどこでも育つ。個人の問題だから。
>
> 余裕のあるところで、自分で好き勝手なことをやってればいい。
> 特にこれからの時代、既存の難問を解いてるだけの数学者よりも
> 問題を見つけ出す数学者が必要とされる。
> 秀才型数学者は黙ってろ、って。
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0092１３２人目の素数さん2013/02/10(日) 00:21:07.53
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0093１３２人目の素数さん2013/06/10(月) 15:02:19.18
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0094１３２人目の素数さん2013/06/11(火) 00:12:26.31
AA AA AA AA やんなっちゃった
AA AA ん AA おどろいた
(死にかたが一番おどろいたが)
0095１３２人目の素数さん2013/06/12(水) 02:09:40.25
デデキント式の実数論が
厳密だとはぜんぜん思わんなあ
あれは破綻してるよ
100年後には俺の意見が主流になる

ニュートンレベルの理解でいいんだよ微積分なんて
0096１３２人目の素数さん2014/01/19(日) 00:05:30.91
>>20
自動化というかプログラミングとか工学の視点で
世の中を見直すととんでもないことが見えてくるんだよなぁ
この世の中はほんと魑魅魍魎だらけだってのが見えてきてさ
恐ろしくなるよ
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