>>610
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nx-kπ = t とおくと
　a_k = ∫[kπ/n,(k+1)π/n] e^(-x) |sin(nx)| dx
　　　= ∫[0,π] (1/n)e^{-(kπ+t)/n} sin(t) dt
　　　= e^(-kπ/n) a_0,

　a_0 = ∫[0,π] e^(-t/n) (1/n) sin(t) dt
　　　= {n/(1+n^2)}［ e^(-t/n){-(1/n)sin(t) - cos(t)} ](t=0,π)
　　　= {n/(1+n^2)} {1＋e^(-π/n)},

　I_n = Σ[k=0,n^2-1] a_k
　　　= a_0･Σ[k=0,n^2-1] e^(-kπ/n)
　　　= a_0･{1-e^(-nπ)}／{1-e^(-π/n)}
　　　= a_0･n {1-e^(-nπ)} ／{n[1-e^(-π/n)]}
　　　→ 2 ･ 1 / π
　　　= 2/π,

〔予想〕
g(t)が周期πをもち、(1/π)∫[0,π] g(t) dt = <g> のとき
　∫[0,nπ] f(x) g(nx) dx - <g>･∫[0,nπ] f(x) dx → 0,

本問では、f(x) = e^(-x),　g(t) = |sin(t)|