質問なのですが、コーシー分布の特性関数
∫_R exp(i tx) / (x^2 + 1) dx
を求めるところでわからないところがあります。
http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration#Example_.28II.29_.E2.80.93_Cauchy_distribution
のように留数定理を用いて導出するわけですが、
何故 t>0 と t<0 とで場合分けしなければならないかがわかりません。

t<0 のときも t>0 のときと同じ積分領域 (リンク先の半円C) を用いてはだめなんでしょうか？
どうして、t<0のときは半円Cの対称になる半円を積分領域にしなければならないのでしょうか？