じっくり考えてみよう．
実軸上にぽつりぽつりと特異点を持つ函数になると思うので，
それを踏まえたうえで広義一様に絶対収束を示さなければならない。

いま，C＼Z上の任意のコンパクト集合Kをとる．
n＜0に対して
　Σ[n=-∞ to -1]1/|z-n|^2＝Σ[n=1 to ∞]1/|z＋n|^2
となるが，
　|z＋n|^2＝|n＋Rez|^2＋|Imz|^2≧|n＋c|^2　（cはKで決まる定数）
よって，
　Σ[n=1 to ∞]1/|z+n|^2≦Σ[n=1 to ∞]1/|n＋c|^2
となって広義一様収束性はOK．
n≧0も同様に
　　Σ[n=0 to ∞]1/|z-n|^2≦Σ[n=0 to ∞]1/(n＋Rez)^2
となりのでOK．

こんな感じでどうすか？