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高校生のための数学の質問スレPART324

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2012/02/02(木) 22:53:33.16
前スレ
高校生のための数学の質問スレPART323
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1327210601/

【質問者必読！】
まず>>1-3をよく読んでね

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
0774１３２人目の素数さん2012/02/13(月) 23:47:17.73
>>773
a=1
b=(2k+3)
c=?
+3があるし…
0775１３２人目の素数さん2012/02/13(月) 23:52:33.80
>>774
アルファベットに惑わされるな！
「ｘについての方程式」の場合、ｋは数。
ゆえにc=k^2+3
0776１３２人目の素数さん2012/02/13(月) 23:53:40.77
アインシュタインなど、高校の時から天才で難しい問題も簡単に解けていたんですか？
ミスはしないんですか？
0777１３２人目の素数さん2012/02/13(月) 23:53:49.22
>>775
aとbは？
0778１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:07:01.33
>>776
アインシュタインのような天才は高校生の頃から難しい問題を簡単に解いていたんですか？
かれらは難しい問題でも間違ったことないんですか？
0779１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:10:40.58
y=1/6x^3+2/3x^2+2xとy=kxが交わるときkの値を全て求めよ
という問題なのですが
1/6x^3+2/3x^2+2x=kx→1/6x^3+2/3x^2+(2-k)x=0
から判別式を利用するやり方と
y=1/6x^3+2/3x^2+(2-k)xの最小を０になるように設定するやりかたがあると
思うのですが、他に簡単な解法はないでしょうか？よろしくおねがいします
0780１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:14:18.61
> y=1/6x^3+2/3x^2+2x

まずはこのクソな式にクソ括弧をつけろ
その理由は分かるよな？
0781１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:15:27.94
>>772の問題誰か教えてください…
0782１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:16:21.38
あとは、kを分離、つまりk=…とするのが明快と言えば明快
0783１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:18:10.04
>>772
判別式D = (2k+3)^2 - 4*1*(k^2+3) ≧ 0
を解くだけだが
定数kの意味を十分理解する事。
0784１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:22:04.67
>>783
cはk^2+3でいいの？
0785１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:23:20.19
>>778
いや、はよ
0786１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:23:24.76
なんで駄目だと思うんだよ
0787１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:26:35.10
>>772
> これってどうやって解いたらいいんでしょうか？b^2-4acに当てはまりません…
当てはまらない・・・ふーむ、
各次数の係数を一まとめのものとして2次から順にa,b,cとおく、という見方ができないのか？
0788１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:26:55.58
>>786
だって、ax^2+bx+cが基本形だったよな？
aはx^2だから1
bは(2k+3)xだから(2k+3)ってわかるけど、cはk^2なのか3なのか…
0789１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:29:10.46
x^2+(2k+3)x+(k^2+3)=0
こう見るのよ
0790１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:31:01.99
>>789
なるほど
じゃあもしx^2+(2k+3)x+k^2+3+10とかだったら
x^2+(2k+3)x+(k^2+3+10)って解釈？
0791１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:33:42.14
>>788
ax^2+bx+c＝0　が基本形だろ
x^2の項とxの項と0を除外して余った部分を見ればいいだけ
0792１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:33:51.31
>>790
はい
0793１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:35:46.48
>>791
ありがとうございました
0794１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:44:19.14
∫1/(x(x^2+1))dx = ∫1/x - x/(x^2+1))dx
　　　　　　　　 = ∫1/x - (1/2)(x^2+1)'/(x^2+1))dx
　　　　　　　　 = log|x| - (1/2)log|(x^2+1)| + C ※ここで終わらせると減点されるだろうか？
　　　　　　　　 = (1/2)( 2log|x| - log(x^2+1) ) + C
　　　　　　　　 = (1/2)( logx^2 - log(x^2+1) ) + C
　　　　　　　　 = (1/2)( log( x^2/(x^2+1) ) + C
0795１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:45:47.57
先生に聞いて下さい
0796１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:46:49.08
何故減点されると思うか、話はそれからだな
0797１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:51:31.73
二次方程式2x^2+kx+k+6=0が重解をもつとき、定数kの値を求めよ、また、そのときの重解を求めよ。

という問題なのですが、どうやって求めるのでしょうか？何度もすいません…
0798１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:52:41.62
今からオナニーします？
0799１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:53:04.01
おまえ、さっきの解説、何も理解してねえじゃねえか
0800１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:55:31.76
>>797
間違ってもいいから
一回判別式を書いてみろ
0801１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:56:21.34
∫[0→α]{1-2(sint)^2+(sint)^4}(sint)'dt=π[sint-2(sint)^3/3+(sint)^5/5][0→α]
と解説にあるのですが、これは何を使って積分したんでしょうか？？

0802１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 00:58:08.70
>>801
まんまだろ
右側を微分したら？
0803１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:02:50.64
>>800
a=2
b=k
c=k+6 でいいの？

というか、ここからどうしていいか分からない…
0804１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:06:35.18
判別式書けつってんだろ
0805１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:10:50.28
>>804
え…判定式って…なんだっけ…
0806１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:12:10.31
xについての２次方程式を
ax^2 + bx + c = 0　　(a,b,cは実数)
とすると
判別式は以下のように書ける
D = b^2 - 4*a*c
ここで
D > 0の時　xは異なる２つの実数解を持つ
D = 0の時　xは重解(１つの実数解)を持つ
D < 0の時　xは虚数解を持つ

今考えないといけないのは
「D = 0の時　xは重解(１つの実数解)を持つ」

これはx = (-b±√D)/(2a)
からきてる





ここまで書いて分かんなければ　先生にでも聞きなさい
0807１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:13:46.34
p,qを素数とし、2次関数 f(x)=x^2+px+q が２つの条件(A)、(B)を満たすとする。このとき、f(x)を求めよ。
(A) ある実数aに対して f(a)<0
(B) 任意の整数nに対して f(n)≧0

難しいです。
お願いします
0808１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:37:30.55
>>806
ごめんやっぱ求めかたが分からない…もうちょっと教えて…
0809１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:40:10.26
>>807
条件Aよりp^2-4q＞0
fの2根をa, bとすると
a+b=-p, ab=q
条件Bより│a-b│≦1
ゆえに(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=p^2-4q≦1

0＜p^2-4q≦1
pは素数なのでp^2-4q=0ではあり得ないからp^2-4q=1
（ついでにpは2でもないのでpは奇数）
(p+1)/2×(p-1)/2=q^2
(p+1)/2と(p-1)/2は隣り合う整数だから、それらの積は偶数
ゆえにq=2でp=3でなければならない

逆に、q=2でp=3であれば条件A, Bを満たすことは容易にわかる
0810１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:40:23.28
>>806
b^2-4ac=0

a=2
b=k
c=k+6 を代入
k^2-8k-48=0
(k-12)(k+4)=0
k=12,-4

ここからが分からない…
0811１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:40:59.26
>>807
f(x)＝x^2+px+q＝(x+p/2)^2+q-p^2/4
「(A) ある実数aに対して f(a)<0」　より、q-p^2/4＜0　⇒　4q＜p^2

f(x)＝0の解は　(-p±√(p^2-4q))/2
よって　(-p-√(p^2-4q))/2＜m＜(-p+√(p^2-4q))/2　となるようなmが存在してはいけない
つまり、あるnに対して　n≦(-p-√(p^2-4q))/2　かつ、　(-p+√(p^2-4q))/2≦n+1　が成り立つ　・・・①

p=2のとき、m=1が存在するので矛盾
よってpは奇数
奇数なので、①より　√(p^2-4q))/2≦1/2　⇒　p^2≦4q+1

以上より　4q＜p^2≦4q+1　を満たすp,qを求めればいい

6k＝2*3*k
6k±2＝2*(3k±1)
6k+3＝3*(2k+1)　なので、
2,3以外の全ての素数は6k±1と表すことが出来る

p＝6k±1とすれば、
4q＜　(6k±1)^2＝36k^2±12k+1＝4*(9k^2±3k)+1　≦4q+1
よって条件を満たす　q　は　9k^2±3k
しかし、9k^2±3k＝3k*(3k±1)　なので素数ではない

p=2のときの矛盾はさっき示したので残る候補はp=3
確かめてみると、q=2,p=3のとき確かに　4q＜p^2≦4q+1　は成立する

よって　f(x)=x^2+3x+2
0812１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:44:13.72
>>809
fの2根ってなんですか
0813１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:44:54.60
そもそも重解、という言葉の意味がよくわからない…
0814１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:45:52.29
> ・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
0815１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:46:24.47
なんで人に聞けばわかることを調べなきゃいけないんですか
0816１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:46:35.87
>>812
f(x)=0となるようなx、つまり、方程式f(x)=0の2つの解
08178132012/02/14(火) 01:47:24.53
>>815
誰だよお前

>>814
教科書に意味載ってるんだけどよくわからない…
0818１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:52:52.29
>>809>>811>>816
ありがとうございます
0819１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 01:52:52.44
>>817
とりあえずは「グラフとx軸との接点」と認識しておけばいいと思うよ
0820１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 02:04:29.97
今更だけど、>>809の
＞pは素数なのでp^2-4q=0ではあり得ない
は変だったな

正しくは…

qは素数なのでp^2-4q=0とすると
p^2=2*2*q
という具合に、整数を2乗した数が、素因数を奇数個もつことになり矛盾
ゆえにp^2-4q=0ではあり得ない
0821１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 02:15:06.33
>>815
いつでも聞ける人がいるとは限らないだろ、
その時に備えて調べる訓練をしておけよ、小バカさん。
0822１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 02:32:23.22
>>821
今の時代聞ける人がいないことはほとんどないですし
調べて分かるようなことはほとんど誰かが知ってますよ
0823１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 02:43:37.03
d{∫[a→2x]f(t)dt}/dx=2f(2x)ですよね？？
0824１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 02:50:36.09
そうですよ
0825１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 02:58:39.22
センターの問題なんだが聞いてくれ

1、2、3、4、5の中から重複を許して3ケタの整数xを作る(x=100a+10b+c)a、b、cは桁な
もちろん、重複順列の公式n^rより答えは125通りなんだが、作れる整数の最大は555、最小は111だよな？
555-111=444通りの数字ができる
公式を用いた解と合わないんだが、なんでなんだ？
0826１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 03:02:52.77
４６６が作れない件
0827１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 03:04:16.10
>>826
作れない証明は？
0828１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 03:05:54.20
125通りが正しい。
111から555の間には116のような1,2,3,4,5以外を使う数字が入ってるから、555-111では条件を満たさない場合を含んでしまうので。

ちなみにだけど、111から555までの整数の個数は
555-111+1=445だからね。
0829１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 03:06:33.71
>>826
あ、ほんとだ
b<=5
c<=5
だな
ここが盲点だったのか
ありがとう
0830１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 03:09:20.14
>>822
今の時代じゃなくて、昔からそうだよ。
誰も知らない事を知ってるのはキチガイか天才のどっちかだ。
ただ物事には段階があって、ある水準の教育を受けるには、相応の知識を持っている必要がある。
ひらがなの読み書きすら覚束無いレベルで新聞の読み方教えろといわれてもどうしようもない。
0831１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 04:12:27.13
ある問題の一部でln(2+√5)の値を小数第二位まで求める部分があり、
解説で「近似的にt^3 + 6t -12 = 0の解として1.47...を得る」とあったのですが、
これはどういうことをしているのでしょうか？
0832１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 04:26:32.38
xy平面において点（2,1）を通り、傾きが負である直線とｘ軸、ｙ軸で囲まれる三角形の面積の最小値を求めよ
0833１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 05:55:29.62
問題ー
(L²+1)/3 が整数であり得ないことの証明求む。
0834１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 06:16:47.28
L=3m-1, 3m, 3m+1で場合分け
誰か>>831分かる人居ないかなあ
0835１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 06:53:27.13
http://www.geocities.jp/jiritu_sugaku/page_sekibun.html
の第１５問の部分分数の展開は c = -1 の間違いではないですかね？
0836１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 07:08:50.44
>>835
いいえ
0837１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 07:12:43.11
(a-x,b-y)^2=a^2+b^2
(x,y)=(-2,1),(-1,-6)
-2(ax+by)+x^2+y^2=0
(a,b)*(x,y)=(x,y)^2/2
(a,b)=(x1,y1;x2,y2)^-1(x,y)^2/2
=((y2,-x2;-y1,x1)/(x1y2-y1x2))(x1^2+y1^2,x2^2+y2^2)/2
0838１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 07:14:20.91
=((y2,-y2;-x2,x1)/(x1y2-y1x2))(x1^2+y1^2,x2^2+y2^2)/2
0839１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 07:29:05.24
(a-x,b-y)^2=a^2
(x,y)=(-2,1),(-1,-6)
a^2-2(ax+by)+x^2+y^2=0
(a,b)*(x,y)=((x,y)^2-a^2)/2
(a,b)=(x1,y1;x2,y2)^-1((x,y)^2-a^2)/2
=((y2,-y2;-x2,x1)/(x1y2-y1x2))(x1^2+y1^2-a^2,x2^2+y2^2-a^2)/2
(a-x1,b-y1)^2=a^2
(a-x2,b-y2)^2=a^2
a(x1-x2)+b(y1-y2)=(x1^2-x2^2+y1^2-y2^2)/2
0840１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 07:40:20.54
>>836
　ごめん。間違っていませんでした。この部分分数展開は
　　(3x+2)/(x(x+1)^2) = a/x + (bx+c)/(x+1)^2
じゃだめなのでしょうか。c が -1 になってしまいます。
　　3x+2 = a(x+1)^2 + bx^2 + cx
　　x = 0 --> a = 2
　　x = -1 --> -1 = b - c -->　　　　b - c = -1
　　x = 1 --> 5 = 2*2^2 + b + c --> b + c = -3
　　b = -2,c = -1
0841１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 07:46:00.11
駄目とは言わないが
結局積分するために分解するんじゃないのか
0842１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 10:37:05.96
>>732
＞ 90点がそこそこの難易度（＝得点分布が正規分布に近い分布になる）であれば全体の10%程度と言える。 

言えない。 
独自判断でなく言えるというなら、そのような統計的推定をしている例を出せ。

0843１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 11:51:33.25
>>831です
返事が来なさそうなので質問を取り下げます
0844１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 13:40:25.80
>>843
>>1
>・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置される
> ことがあります。
>　　（変に省略するより全文書いた方がいい
0845１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 13:46:31.86
取り下げたんだから余計な自治は不要
0846１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 14:15:35.35
周りに知らしめただけで余計な自治とか
0847１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 14:46:30.02
頭痛がしてきた。
0848１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 16:15:29.35
y=a(x-p)^2のグラフについてなんですが、こういう形のグラフの軸はx=pですが、この軸、というのはどういう解釈なのでしょうか？
08498482012/02/14(火) 16:19:21.45
少し訂正
このグラフの軸は"直線"x=pですが、この直線というのはどういう解釈なのでしょうか？
0850１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 16:19:24.63
ちょっとエスパー呼んできて
0851１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 16:19:50.99
解釈って何？
08528482012/02/14(火) 16:21:59.58
だから、このy=a(x-p)^2の放物線の軸がどういう意味なのか分からないんです…
y=ax^2+qの軸はyということは普通にわかるんですが…
08538482012/02/14(火) 16:24:16.59
軸はx、とかならわかるんですが、直線x、というのがよくわからないんです…
0854１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 16:32:48.06
(p,0)を通るy軸に平行な直線
0855１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 16:33:31.09
xy平面上でx=3のグラフは描けますよね？
08568482012/02/14(火) 16:34:48.17
>>855
はい…
08578482012/02/14(火) 16:39:20.26
>>855
あああなるほど、理解できました、ありがとうございました
0858１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 18:06:25.50
>>811
質問した人とは別人ですが解説が分からなかったので質問させてください

> p=2のとき、m=1が存在するので矛盾
> よってpは奇数
> 奇数なので、　⇒　p^2≦4q+1

m=-1ですよね？

そして、pが奇数なら①より　√(p^2-4q))/2≦1/2が分かりません…
pが奇数ならば、何故この部分が1/2以下となるのでしょうか？

問題からはかけ離れますが、pが偶数だったら√(p^2-4q))/2の部分の条件はどうなるのでしょうか？
0859１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 19:03:59.90
>>858
pが偶数なら-p/2が整数になることに注意して
(-p-√(p^2-4q))/2 と (-p+√(p^2-4q))/2 の間に整数が無いという条件を考えてみる
08608582012/02/14(火) 19:24:56.33
2点の間に整数がないというのは
両方の数字の整数部分が同じという事と考えて（1.7と1.3とか、-2.3と-2.6）

という事は、(-p-√(p^2-4q))/2と(-p+√(p^2-4q))/2は
とある整数から、とある実数（√の中身が正の場合）を引いたものと足したものだから
pが偶数だとf(x)=0に二つの実数解があれば、その二つの実数解の間に必ず一つの整数がある

pが奇数だと、p/2は0.5とか3.5とかのように少数第一位は5になっている
だから、√(p^2-4q))/2が1/2以下だと二つの実数解の間には整数がない


これで正しいなら納得出来た気がします
ありがとうございます
0861１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 21:58:37.87

アインシュタインのような天才は高校生の頃から難しい問題を簡単に解いていたんですか？
かれらは難しい問題でも間違ったことないんですか？
0862１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:00:20.40
本人に聞けよ
0863１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:13:29.81
ご冗談でしょうアインシュタインさん
0864１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:21:38.91
ガウス
15歳 - 素数定理の成立を予想
18歳 - 最小二乗法発見
19歳 - 平方剰余の相互法則の証明。コンパスと定規のみで正十七角形を作図できることを証明
22歳 - 代数学の基本定理の証明
24歳 - 『整数論の研究』出版　複素数表記、現代整数の表記導入
24歳 - 円周等分多項式の研究
0865１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:25:55.32
オイラーとガウスはどちらがえらい？
0866１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:28:08.18
オイラー「おいら」
0867１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:33:36.24
>>860
pが奇数のとｒき、f(x)の軸　x=-p/2が半整数（整数+(1/2)の数）なので、
任意の整数nでf(n)≧0となるための条件は　軸を挟む整数m=(-p±1)/2において
f(m)≧0となっていること。これから　p^2≦4q+1　が出る。
0868１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:36:24.71
>>866
0869１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:46:57.20
ttp://nyushi.yomiuri.co.jp/12/sokuho/kanseigakuin/2_1/sugaku_ri/mon2.html
この問題なんだけど[2]の(1)は何で

yは分母なんだしy=0か否かで場合わけしなくていいのでしょうか?
何か気持ち悪い感じがします。
0870１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:46:59.40
離散グラフ
0871１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:47:47.83
>>870は>>869宛てではない
0872１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:51:07.15
>>869
x,yが実数といっているので　y=0　となることはない。(x^2+2=0となってしまう)
0873１３２人目の素数さん2012/02/14(火) 22:52:07.82
>>867
凄く納得しました!!
ありがとうございます
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