実数x,yがx²+y²=2を満たすとき、2x+yのとりうる値の最大値と最小値を求めよ。


2x+yをpと置き、y=-2x+pと整理し、x²+y²=2に代入すると、
5x²-4px+p²-2=0
となるところまでは分かりました。
ただ、その後の実数解があるから判別式を使う、という部分以降理解できません。
なぜ実数解があるとわかるのか、判別式を使うのか、xとyの範囲を求めなければならないのか、
色々分からないところがあるので教えてください。