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高校生のための数学の質問スレPART324

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0001１３２人目の素数さん2012/02/02(木) 22:53:33.16
前スレ
高校生のための数学の質問スレPART323
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1327210601/

【質問者必読！】
まず>>1-3をよく読んでね

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
0100１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 20:34:28.79
2/x+1の積分は
2log|x+1|で良いんでしょうか？
0101１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 20:34:46.61
>>98
y の範囲も0°～180°でいいのか？
グラフの凸性を踏まえればほとんど計算せずに答えが出る
0102１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 21:31:52.67
>100
間違い
2/(x+1)ならそう
0103１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 21:35:25.89
まあ（）付け忘れたんだろ
0104１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:04:32.18
AとBの比といった場合
A/Bのことですか。
0105１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:05:25.90
A:B
0106１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:06:11.59
>>104比の値ってやつな
0107１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:17:57.74
>>104
比と比の値は6年上にあるから見ておけ。
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/index.html
0108１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:28:48.13
√（ｎ²＋ｎ＋３４）が整数となる正の整数ｎをすべて求めよ。

お願いします。
0109１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:43:47.60
>>108
1、5、10、33であってる？
0110１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:44:29.28
俺もそうなった
0111１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:45:04.54
結構無理やりだしてしまったが簡単なやり方あんのか？
01121092012/02/04(土) 22:47:45.83
5つに絞ったあとはしらみつぶした。
0113１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:49:03.20
＞１０８
ｎ²＋ｎ＋３４＝（ｎ＋ｋ）² を満たす正の整数 ｋ を求めればよい。
展開して整理すれば、（２ｋ－１）ｎ＝ｋ²－３４
左辺は正だから右辺も正で、ｋ＝１，２，３，４，５の何れか。
後は虱潰し
0114１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:53:03.29
>>113 (2k-1)n = 34-k^2 だな
0115１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:53:56.15
>109-114
なるほど、ありがとうございました！
0116１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 22:58:33.45
15nを28で割ったら4余るようなnは、どのような整数か。

よろしくお願いします。
0117１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:02:40.89
>>116
自分でやれ
0118１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:14:31.78
2^70+3^70を13で割った余りは幾つか

よろしくお願いします。
0119１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:15:11.41
>>118
自分でやれ
0120１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:15:12.92
それくらい手計算でやれよ
0121１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:20:28.58
>>118合同式でおｋ
0122１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:21:34.17
>>116
15n=28m+4となる整数mが存在することと同値。
両辺から15×4=28×2+4を引くと、15(n-4)=28(m-2)となる。
15と28は互いに素だから、左辺=15×28kとなる整数kが存在することと同値。
よって、n=4+28k、つまりnは28で割ったら4余る整数。
0123１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:23:09.69
15n=28m+4
n=(28m+4)/15
0124１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:25:45.48
lim[n→0] (1+ 1/n)^n　

n→∞の時はeだとわかるんですが、こちらはわかりません。
よろしくお願いします。
0125１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:27:44.85
>>118
2^70+3^70
=4^35+9^35
=4^35+(13-4)^35
=4^35+13^35+35×13^34×(-4)+…+35×13×(-4)^34+(-4)^35
=4^35+[13の倍数]+(-4)^35
=13の倍数
0126１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:34:42.72
>>124
おいおい、nって普通は整数だぞ
lim[n→0](1+1/n)^n
lim[x→∞](1+x)^(1/x)
=lim[x→∞]e^[log{(1+x)^(1/x)}]
=e^[lim[x→∞]{log(1+x)/x)}]
=e^0=1
0127１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:40:45.49
最後から二行目は
=e^[lim[x→∞]{log(1+x)}/x]
の誤記
0128?　＊＊論研究報告2012/02/04(土) 23:45:01.05
＊＊論数学では虚数 i=√-1 はある質（表現）からそれと異なった質（表現）
に移る演算単位である。すると空間の距離Ｘとそれと直角な距離Ｙは
異なった質の関係にあります。からｒ＝Ｘ＋Ｙｉです。ＹiやＸの表現を
消すと当然存在量が残ります。消滅表現をＡ＾*と表すとＸ・Ｘ＾2＝Ｘ＾２
（Ｙｉ）・（Ｙｉ）＾*＝Ｙ＾２でありｒ＾２＝Ｘ＾２＋Ｙ＾で
ピタゴラスの定理です。


9 ：?　＊＊論研究報告：2012/02/01(水) 01:09:12.22 ID:2eW/+tej
おっと間違えた。Ｘ・Ｘ＾2＝Ｘ＾２　ではなくて
Ｘ・Ｘ＾*＝Ｘ＾２です。



10 ：?　＊＊論研究報告：2012/02/01(水) 01:15:30.41 ID:2eW/+tej
虚数の意味は前から言っているんだが
未だに数学会では遅れた考えを外国でもやっていて
未だ＊＊論には追い付いていない。これは人類の
知的衰退と思われる。我が新人類右脳同盟の啓蒙が
必要と思われる。長年の物質欲ボケがたたってると
思われる。身を引き締めよ。


高校生諸君√(-1)=i意味を考えよ。直角三角形は角度が辺の比で表せる意味でもある。
この角度と辺の比に共通するものは何か。
0129１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:53:11.00
>>126,127

ありがとうございました！
0130１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 23:57:53.32
３の倍数でない数列の一般項の求め方を教えて下さい。
一応階差をとってみたのですが1, 2, 1, 2...
全然わかりません。
0131１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 00:07:43.17
もっかい階差数列考えてみれば？
0132１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 00:25:48.04
う～んわかりません。
階差数列は1, 2, 1, 2...で合ってますよね？
ひとまずこれの一般項を出したいのですがわかりません
0133１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 00:27:34.79
もっかい階差とるといいかもね
0134１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 00:29:18.42
ありがとうございます！もっかいやるというのを忘れてました。ありがとうございました。
あとは自力で挑戦してみます！
0135１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 00:30:37.49
>>126
厳密には間違い。
0136１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 00:33:05.88
cos4x-5sin2x>3, 0≦x≦πをみたすxの範囲を求めよ
0137１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 00:39:57.80
>>136
教科書とか読んでもわからんのか？
頑張れよ高校生


（ヒント：左辺をsin2xで表す）
0138１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 01:04:15.50
P(x)を(x-2)^2で割るとx-2余り、x+2で割ると12余る。(x-2)^2(x+2)で割った時の余りを求めよ。
この問題の解答に
P(x)=(x-2)^2(x+2)Q(x)+R(x)
R(x)=a(x-2)^2+x-2
と書いてあるのですが
何故こうなるのか分かりません

0139１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 01:30:12.13
何でって言われてもね・・・
P(x) = (x-2)^2(x+2)Q(x) + a(x-2)^2 + x-2
と置けば(x-2)^2で割った余りはx-2で矛盾無いとしか・・・


そう置く事が解らなければ
P(x) = (x-2)^2(x+2)Q(x) + ax^2+bx+c
とでも置いて
ax^2+bx+cを実際に(x-2)^2で割った余りとx-2と係数比較
すればいい。
0140１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 01:56:47.50
>>139
解決できました
ありがとうございました
0141１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 06:32:21.10
＜整数問題＞
７７の倍数で９９９で終わるものを求めよ。

たとえば、10000x+1000y+999=77k　
みたいな感じしても、いまいち突破口がみつかりません。

よろしくお願いします。
0142１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 07:47:20.10
＞＞１４１
　　７７ｘ＝１０００ｙ＋９９９　…　①
となる正の整数 ｘ、ｙ の組を求めれば良い。
　　７７（－１３）＝１０００（－２）＋９９９　…　②
①－②より
　　７７（ｘ＋１３）＝１０００（ｙ＋２）
７７ と １０００ は互いに素だから、整数 ｎ により、両辺＝７７×１０００（ｎ＋１） と書ける。
　　ｘ＝９８７＋１０００ｎ
　　ｙ＝７５＋７７ｎ
よって、ｘ は９８７ で終わる正の整数
0143１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 08:01:39.84
＞＞１４２
＞　となる正の整数 ｘ、ｙ の組を求めれば良い。
は
＞　となる正の整数 ｘ と零以上の整数 ｙ の組を求めれば良い。
の誤記
0144１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 08:43:52.90
なるほど。初めの１個を頑張って見つけてから、そうやって解くのですね。ありがとうございました。
0145１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 09:19:50.95
数列anがa1=4,漸化式an+1=√(an+6)を満たすとき、anを求めたいのですが、
an+1=an=xとおいてx=3,-2と出してそこから詰まってます
どうすればいいでしょうか？
0146１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 09:40:09.49
念のためだけどa(n+1)だよな
0147１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 09:42:35.21
はい
a1,an,an+1の1、n、n+1は小文字です
0148１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 09:52:57.06
>>145
問題文を改変したり省略したりすることなく、正確に書きこめ
0149１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 10:59:01.67
関数f(x)=(a-cosx)/(a+sinx)が、0<x<π/2の範囲で極大値をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。また、その極大値が2となるときのaの値を求めよ。


極値をもつための条件は0<x<π/2でf'(x)=0なればよいと考えて、a<-1,1<aという所までは計算して分かったんですが
f'(x)=0を満たすxをαとしてf'(α)=0
a<-1のとき、f'(x)はx=αで正から負に変わるから、x=αで極大となる。
a>1のとき、f'(x)はx=αで負から正に変わるから、x=αで極小となり、不適。
よって、a<-1

と解答には書いてあるんですが、上記のことが何故すぐにそうなること分かるんでしょうか？

自分バカなんで詳しく教えてもらえるとありがたいです(>_<)

説明下手でごめんなさい
0150１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 11:21:18.82
>>149
すぐにわかるわけじゃないだろう。
計算するとそうなってることがわかるってことじゃないの？
肝心の計算部分を省略すんなよ。
0151１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 11:21:46.78
>>149
何処がわかって、何処がわからないのかもう少し詳しく書け
0152１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 11:27:43.41
>>149
導関数の分子から簡単に推測できそうだけど。
0153１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 11:31:11.38
>>149
とりあえずマニュアルどおりに微分して、増減表てきなの書いたりしてみろよ
0154１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 11:52:26.69
>>149
> 極値をもつための条件は0<x<π/2でf'(x)=0なればよいと考えて、a<-1,1<aという所までは計算して分かったんですが
計算した導関数の分子を書いてみ
0155１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 12:12:14.98
>>145
wolfram先生にも解けないから、現時点での君には無理だと思われる
0156１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 12:32:00.87
>>145
どうせ一般項を求める必要ない問題なんだろ
0157１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 12:40:59.07
>>155
手で計算しろ
0158１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 12:45:36.38

二次不等式の問題で困っています。

「次の条件を満たすような定数ｍの値の範囲を求めよ
x^2+mx+m+2<0が解を持つ」とあります。

解を持つのでD=b^2-4ac>=0に代入すれば良いと考えて
m^2-4(m+2)>=0からm≦2-2√3、2+2√3≧mになりました。

ですが解答を見るとm＜2-2√3、2+2√3＞mでした
何故m＝2-2√3、2+2√3＝mが含まれないのでしょう？

おしえてくださいお願いします。
0159１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 13:09:29.87
含まれないのでしょうだの含まれるのでしょうだのいう奴が時々いるけど
その場合どうなるか調べればすぐ分かるだろうに
0160１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 13:11:23.04
判別式D=0となるのはどういうとき？
D=0のときのグラフを書いてみなはれ
0161１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 13:12:00.79
不等号の向きが逆だ
0162１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 13:32:56.63
1,|1/3,1/3,|1/5,1/5,1/5,|・・・

と第n郡の分母が2n-1、n項入る郡数列において第300項までの和って分母が違うから出せませんよね？

Σ[n=1~24](n/2n-1)
ってなるんですが・
0163１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 13:46:01.87
出せるだろ
Σ[n=1~24](n/2n-1)にはならんが群
0164１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 13:52:27.38
>>163
第n郡の和がn/2n-1となって300項が24群目の末項だからΣ[n=1~24](n/2n-1)と思ったんですが・・・
こうなるはなるけどこれじゃ出ないから別のやり方があるってことですか？

どうやるか教えてください。
0165１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 13:55:41.85
183803901257408676572/13835020108241056725
0166１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 14:06:19.10
>>165
本当にそれですか？
0167１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 14:21:44.13
出せる分には出せると思うけど
いわゆる綺麗に出るかは別問題

そもそもどんな問題かは知らないけど。
0168１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 14:28:00.62
>>167
まあ通分していったら出せますけど・・

1,|1/3,1/3,|1/5,1/5,1/5,|・・・
第n郡の分母が2n-1、n項入る郡数列において第300項までの和を求めよ。

という問題です。
どなたかお願いします。
0169１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 15:36:19.07
第n群がフィボナッチ数列的に増えていく可能性もあるな！
0170１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 16:20:54.41
＞１６８
自作問題ですか
0171１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 17:02:11.76
グラフG(V,E)上のある2頂点x,y間にパスが存在して、そのパスに含まれる頂点がすべてVの部分集合Aに含まれる。
というのを言葉ではなくて数学的に表記したいのですが、どうすればいいんでしょうか？
よろしくお願いします。
0172１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 17:10:48.70
確率の教科書の問題なんですが、

X1, X2, …, Xnは互いに独立な確率変数であり、E(Xi)=μ, V(Xi)=σ^2を満たす。
X=(X1+X2+…Xn)/nとすると以下が成り立つ
V(X)=σ^2/n

とあります。
Xは平均μと同義なので(?)分散の定義よりV(X)=0になると思ったんですけど、違うみたいです
そもそもX=μという認識があっているかどうかもよくわかりません…
どなたかお願いします
0173１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 17:57:31.04
>>172
>Xは平均μと同義なので
意味不明
X=μと言いたいのか?
それなら、Xは確率変数、μは定数だから違うが
0174 ◆xDnHgfOW5s 2012/02/05(日) 17:57:50.47
>>171
集合の直積などを用いて無理やり表現するとしたら、
∃n ∈ N; ∃(v_0, ..., v_n) ∈ A^n; v_0 = x, v_n = y, ∀i ∈ {1, ..., n}, (v_{i-1}, v_i) ∈ E
などですが、日本語で書く方が分かりやすい気がします。

>>172
X = μではないですよ。Xは確かにX_1, ..., X_nの平均のようになりますが、
Xは確率変数ですので、Xの値は試行の度に変動しますよね。
もちろん、Xの期待値をとった場合には、期待値の線型性より、
E[X] = E[(X_1 + ... + X_n) / n] = (1/n) (E[X_1] + ... + E[X_n]) = μが成り立ちます。
01751722012/02/05(日) 18:03:21.21
なるほど…
>Xは確率変数ですので、Xの値は試行の度に変動しますよね。
のおかげでわかりました。ありがとうございます
0176１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 20:12:54.77
点(-1,1)からの距離が√2であり,点(0,4)を通る直線の方程式を求めよ

0177１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 20:16:04.44
勘で
y=-x-4
0178１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 20:16:26.02
>>176
偉そうに命令すんな
後ろについてる答えよんどけドアホ
0179１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 20:18:55.49
x-y+4=0,7x+y-4=0
0180１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 20:19:45.86
やべえみすった
0181１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 20:20:00.09
>>179はなしで
0182１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 20:22:41.46
>>176
(0, 4) を通る直線を
　　　ax+y-4=0　…　①
とおく。 ①と (-1, 1) との距離が √2 だから、
　　　|a+3|/√(a^2+1)=√2
　　　(a+3)^2=2(a^2+1)
　　　a^2-6a-7=(a+1)(a-7)=0
　　　a=7,-1
　　　y=x+4　および　y=-7x+4
0183１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 20:23:48.72
みすってなかった
0184１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 21:46:51.91
数列anが初項a1=4,漸化式an+1=√(an+6)を満たすとき、
lim[n→∞]anを求めよ
(a1,an,an+1の1、n、n+1は小文字)
anを求めたいのですが、
an+1=an=xとおいてx=3,-2と出してそこから詰まってます
どうすればいいでしょうか？
0185１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 21:48:03.86
>>184
よ、マルチ
0186１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 21:48:40.69
>>184
shine
0187１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 21:53:13.91
>>184
これ>>145の奴か
0188１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 21:54:33.21
てか数列は
a(n)みたいに表せ
0189１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 21:57:28.95
>>184

＞an+1=an=xとおいて
なんでこうおいたの？wwwwww
0190１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 21:59:41.32
多分a(n)求めてから極限出そうとしたんだろ
0191１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:04:11.61
まあそのx=3ってやつが答えだけどね
0192１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:04:43.78
a(n)求めるのにもxっておく理由が理解できないよ^^;
バカ過ぎてバカの一つ覚えで特性方程式（笑）が原理も知らず漸化式一般で成り立つって思ってるのかなかな
0193１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:07:25.19
>>184
解けない漸化式でよくある問題だよ
身近な参考書探ってみろ
まあ流れとしては、a(n)が極限持つとしてその値求めて、不等式といて、はさみうち
0194１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:14:51.89
グラフ上にa(n)ひたすらプロットしていけば、答えが3になる理由が何となくわかるよ(^^
0195１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:19:53.84
普段から解ける漸化式ばっかり解かされてると脳味噌がマヒして
漸化式なら何でも一般項が求まると思っちゃうんです
0196１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:22:23.09
|a(n)-3| = |√(a(n)+6)-3| = |(a(n)-3)/√(a(n)+6)+3| = |a(n)-3|/√(a(n)+6) ≦ |a(n)-3|/3 (∵√(a(n)+6)≧0)
よって
0 ≦ |a(n)-3| ≦ |a(n)-3|/3 ≦ |a(n-1)-3|/(3^2) ≦ … ≦ |a(1)-3|/(3^n) = 1/(3^n)
またlim[n→∞]0 = 0 , lim[n→∞](1/(3^n)) = 0 だから
はさみうちの原理より
lim[n→∞]|a(n)-3| = 0
よってlim[n→∞]a(n) = 3
0197１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:22:27.30
特性方程式とか教えるから逆に漸化式が出来なくなる。帰着の概念を叩きこむ良いチャンスなのに勿体無い
0198１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:23:05.75
>>196　清書は自分のノートでやってくれ
0199１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:24:22.20
>>196
書き忘れたが|a(n)-3|の3はお前が求めた3だ
因みにx = -2は解じゃないからな
0200１３２人目の素数さん2012/02/05(日) 22:28:11.56
>>196
1行目、「= |a(n)-3|/√(a(n)+6) 」が余計
3行目、「≦ |a(1)-3|/(3^n)」は嘘。分母は3^{n-1}だろう
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