高校生のための数学の質問スレPART324
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0001１３２人目の素数さん
2012/02/02(木) 22:53:33.16高校生のための数学の質問スレPART323
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1327210601/
【質問者必読！】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
0002１３２人目の素数さん
2012/02/02(木) 22:53:44.71(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
0003１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 00:18:50.00これの実数解が無理数であることの
背理法使った証明お願いします。
0004１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 00:26:26.86√2が無理数であることの証明と同じ方針
x=q/p （pとqは互いに素）が解とすると矛盾
0005１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 00:28:52.03それですすめてるんですが
うまくいかないんです。
0006１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 00:40:43.24α=q/p が解とすると
q^3 -p(q^2) +2(p^2)q -p^3 = 0
q^3 = p(q^2) -2(p^2)q +p^3
だからqはpの倍数
p^3 = q^3 -p(q^2) +2(p^2)q
だからpはqの倍数
ゆえにq = p または -p
α=1 または -1
しかし、方程式に代入してみれば、これが解とならないことがわかる
0007１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 00:41:34.660008１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 00:48:47.26ありがとうございました。
0009１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 01:44:37.67wolframalpha
http://www.wolframalpha.com/
私的数学塾
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/index.htm
Ikuro's Home Page
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/index.htm
関数表示ソフト
GRAPES
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
FunctionView
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
0010１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 02:59:46.290011１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 03:11:58.44ぐぐれ
0012１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 16:12:53.76n→∞の時、1/n=0ですから(1+0)^∞ は1だと思うのですがなぜ違うのでしょうか
0013１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 17:44:38.01n=100とかn=1000とかn=1000の時の値が教科書とかに載ってるだろが
だんだん一定の値に近付いていくのが分かる
0014１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 18:17:39.590015１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 18:18:58.960016１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 18:26:36.440017１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 18:29:11.270018１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 18:39:43.71ありがとうございました
その考え方だと、lim[n→∞](1+1/n)^nの1/nの部分を0に近づけた後に、指数のnを∞に近づけていますよね。
どちらもnに関する式ですから本来は同時に動いていくはずなのに、
これを別々に扱ってしまっているので、おかしくなっています。
極限を求めるときに陥りやすいミスなので、よく注意した方が良いですよ。
なぜeになるかということについては、それがeの定義であるといっても良いですし、
eの別の定義としても使われるe^x = Σ(x^k/k!)でのeと同じ値に収束するからともいえます。
0020１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:39:26.47>>19
有難うございました
0021１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:44:06.92(1)sinx+cosx=tとおくとき、sin2xをtの式で表せ
⇒sin2x=t^2-1
(2)tの撮りうる値の範囲を求めよ。
ここで疑問は(2)についてなんですが、解答はsinx+cosx=√2sin(x+45°)=tとし、範囲を出しています。
たしかにこのやり方は定跡だしわかりますが、
このやりかたではなく
sin2x=t^2-1を用いて、0≦x≦180°より0°≦2x≦360° ∴-1≦sin2x≦1
よって -1≦t^2-1≦1
-1≦t^2-1・・・①
t^2-①≦①・・・②
①,②を連立不等式として解くと、-√2≦t≦√2となり、合成した場合と違いますが何がおかしいんでしょうか？
0022１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:49:28.01じゃあ
lim[n→∞](1+1/n)^nににた
lim[n→∞](a+1/n)^n
lim[n→∞](1+a/n)^n
ってどうなるか気になるよね
a>1,0<a<1,0>a
の時どうなっちゃうの⁈
0023１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:51:01.19k<0かつ5k^2+4k≦0のときkの範囲を求める問題で
5k^2+4k≦0を解いて-4/5≦K≦0
参考書は書いてあるのですが
自分は
5k^2≦-4k=
5k≦-4=
K≦-4/5
と計算してしまい不等記号が逆になってしまいますorz
恐らく、K＜0だから-4/5≦K≦0こうなるのかな？と思っていますがK＞0の時の計算の仕方がイマイチ分かりません。
教えて下さい
0024１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:53:27.49中学の教科書から復習し直す必要があるんじゃないかな^^;
0025１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:55:34.76まずここがおかしくないか
0026１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:58:07.19それくらいは生暖かく見逃してやれよｗ
0027１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:58:10.82黄チャートの112pの問題なのですがそう書いてあるんですよね
写真載せようか迷いましたけど版権ものなのでやめました
0028１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:59:36.64マルチだろ、これ。しかもとっくに解決済み。
0029１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:00:05.420≦t^2≦2 → -√2≦t≦√2 ってするのがまずい
２乗したものってのは正負の情報が全部ぶっとんでるから２乗をなおすときは常に注意しろ
ためしにy=x^2のグラフ書いてみろ。-1≦x≦√2だって0≦y≦2になるだろ
0030１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:08:28.85なるほどー
普通の計算ならそれでもいいけど色々と条件付ならわからなくなってくるっていうことですね。
じゃぁsin2x=t^2-1のみの条件を使ってはこの問題では解けないっていうことですか？
0031１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:13:47.50sinx+cosx=t⇒sin2x=t^2-1 は真だけど
sin2x=t^2-1⇒sinx+cosx=t は偽
同値関係がくずれてるから、sinx+cosx=tで成立することはsin2x=t^2-1でも成立するけど、sin2x=t^2-1で成立することがsinx+cosx=tで成立するとは言いえない
sin2x=t^2-1⇒sinx+cosx=t のsin2x=t^2-1のt と sinx+cosx=tのtは文字として同じだけで、別物（ちょっと語弊があるかもしれんけど）
0032１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:20:41.90学コンレベルだと
数列a[n]=(1+1/n)^nが単調増大で上に有界であることを示す。
このとき数列a[n]はある値に収束する。
参考（下の方）
http://www.k2.dion.ne.jp/~yohane/000suugaku2.htm
0033１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:23:48.69必要しか成り立ってないんですね。
最後の行のやつはtの中に絶対値的におかしい部分があるっていうことですよね？
詳しく説明していただいてありがとうございました。
でも実際にするとこれを見分けられないですよね？(まあ二乗に気をつけるということはできますが)
今度からは置き換えたら範囲を指定することをしっかりやっていきます。
0034１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:24:54.15第n群までの和が100であるとき、nは何桁の数か
ただしlog??2=0,3101とする
全然わかりません＞＜
0035１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:38:49.110036１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:38:57.38logとか関係あるのか？
各群の和は1なんだろ？
第n群までの和が100なら、n=100だろ。3桁。
0037１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:40:11.670038１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:41:48.53これでも自分なりに書いて考えてるんですが
0039１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:43:50.83>>1
> ・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
0040１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:44:52.980041１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:47:58.351/2^(k-1)が2^(k-1)個で1群としたら、100群までたすと100になる
よって、100群の100項がトータル何項目か計算すればいい
0042１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:03:18.20問1 第1000項までの和 がこの問いの前にあったんですが
それは第9軍の最後の項が511番目なので、9+1000-511*1/2^9 ってのはわかったんです
けどこの問いは何をどうすれば回答に近づけるかもさっぱりです
0043１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:05:37.31規則：1枚めのカードを机の左端に置く。2枚め以降は、既に取り出したカードの数字と同じ数字のカードを取り出した場合はその数字のカードの上に重ね、そうでない場合は既に置いてあるカードの右側に置いていく。
以下では、同じ数字のカードが2枚以上重ねられて置かれているか、1枚のカードと重ねられずに置かれているとき、それを1つの「カードの山」と呼ぶことにする。
たとえば、3、1、3、2、2の順に取り出した場合は、机の上には左から3,1,2と記入された3つのカードの山ができ、2,2,3,2,2の順に取り出した場合は、机の上には左から2,3と記入された2つのカードの山ができる。
(1)カードの山の個数が2となる確率を求めよ。
(2)左から順に1,2,3と記入された3つのカードの山ができる確率を求めよ。
お願いします。
ちなみに自分でやったところ（１）は250/1101になりました。
（２）はさっぱりわかりません
0044１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:10:55.88各群の和が1だ、と皆書いてくれているね。
0046１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:16:55.75各群の和が1なのは知っていて、それをどこまで足したら100になるかが分からない
と言ってるの？
0047１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:27:30.06(1)は計算間違えてるか、ここに書き込むときにタイプミスをしていると思う。
(2)は、(1)が出来るならカードの山の個数が3となる確率もわかるだろ？
山が3のときの数字の順番は何通りある？ それらは同じ確率のはずだろ？
0048１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:44:24.96山形大学の
（２）と（３）がわかりません
0049１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:47:13.11>>1
0050１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:57:34.020051１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 22:59:24.25(2)は(1)の式どうし引け
(3)はaについての恒等式 (答えは(1,3/2))
0052１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 23:00:08.550053１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 23:03:07.94> それは第9軍の最後の項が511番目なので、9+1000-511*1/2^9 ってのはわかったんです
9+(1000-511)*1/2^9
の書き間違いなんだろうけど、
これが解って
> けどこの問いは何をどうすれば回答に近づけるかもさっぱりです
と、サッパリというのでは、どう考えているのかを書いてもらわないとヒントの出しようもないなあ。
0054１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 23:34:58.42答は1,2,3だと思うんですが
途中式を教えてください
0055１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 23:38:30.600056１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 23:46:52.71１≦ｘ≦ｙ≦ｚ と仮定して一般性を失わない
ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ≦３ｚ
ｘｙ≦３ だから、ｘ＝１
ｙ＝１ のとき、ｚ＝ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ＝２＋ｚ となり矛盾。
ｙ＝２ のとき、
２ｚ＝ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ＝３＋ｚ ⇒ ｚ＝３
ｙ＝３ のとき、 ３ｚ＝ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ＝４＋ｚ となり矛盾。
0057１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 23:56:59.560058１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 23:58:23.320059１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 00:04:08.190060１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 00:23:27.790061１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 00:30:57.994枚1枚と出る場合と、3枚2枚と出る場合に分けて
3*2*5C4*5C1/15C5
＋3*2*5C3*5C2/15C5
このような式作ったんですけど
どこが違いますか？
計算結果は50/1001になりました
0062１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 00:48:58.93ただし、このサイコロは正しいものではなく、kの目が出る確率は
P(k)(k=1,2,3,4,5,6)である。
（１）引き分けとなる確率Ｐを求めよ
（２）Ｐ≧1/6であることを示せ
（３）等号が成り立つ条件は P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=(6) であることを示せ
（１）はいいんですが、（２）が
Σ_[k=1,6]{P(k)-1/6}^2= ・・・=P-1/6
とP(k)から1/6をひくところがよくわかりません？
（３）は二乗数の総和なので０となるのはP=1/6のときのみ、という事のようですが、
（２）の過程が分からないのでおしえてください
0063１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 00:55:27.18250/1001じゃないの？
0064１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 00:58:05.98(1)の答を書いて
0065１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:01:34.64間違えました
250/1001です
計算式あってますか？
0066１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:02:13.40Σ_[k=1,6]{P(k)-1/6}^2＝Σ_[k=1,6][{P(k)}^2-P(k)/3+1/36]
を整理するだけ
0067１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:08:18.98(2)のような計算式を考え付く過程を聞きたいのじゃないかとエスパーしてみるが
私では思いつかない。
0068１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:12:38.13あってるよ
0069１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:18:08.45（２）はこのような感じでいいですかね？
それぞれの確率は次のとおりである。
・1*3、2*1、3*1
出る順番は、
11123 11213 11231
12113 12131 12311
の6通りだから、
5/15*4/14*3/13*5/12*5/11*6
・1*1、2*3、3*1
出る順番は、
12223 12232 12322
の3通りだから、
5/15*5/14*4/13*3/12*5/11*3
0070１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:18:48.11・1*1、2*1、3*3
出る順番は、
12333
の1通りだから、
5/15*5/14*5/13*4/12*3/11*1
・1*2、2*2、3*1
出る順番は、
11223 12123 12213 12231
11232 12132 12312 12321
の8通りだから、
5/15*4/14*5/13*4/12*5/11*10
・1*2、2*1、3*2
出る順番は、
11233 12133 12313 12331
の4通りだから、
5/15*4/14*5/13*5/12*4/11*4
・1*1、2*2、3*2
出る順番は、
12233 12323 12332
の3通りだから、
5/15*5/14*4/13*5/12*4/11*3
以上を足し合わせて、
＝(5*4*3*5*5*10＋5*4*5*4*5*15)/(15*14*13*12*11)
＝(3*5*5*10＋5*4*5*15)/(3*14*13*3*11)
＝25*90/(3*14*13*3*11)
＝25*10/(14*13*11)
＝250/2002
＝125/1001
0071１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:26:48.15１、２，３どれかの山しか出ない確率は
3/3003 = 1/1001
３つの山が出る確率は
1 - 1/1001 - 250/1001
= 750/1001
(123)(132)(213)(231)(312)(321)
の山が出来る確率は同じだから６で割って
125/1001
0072１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:30:02.01ありがとうございます
0073１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 01:41:35.60この式が妥当であることの説明は以下の通り。
農[k=1,6}｛P(k)｝=1であることに注意する。
（実のところ、これが全てなので。そして 1/6=2/6-1/6）
P=農[k=1,6]{P(k)^2} は自明として、示したいことはP≧1/6なのでP-1/6を考える。
P-1/6=農[k=1,6]{P(k)^2}-1/6=農[k=1,6]{P(k)^2} -2/6+1/6
=農[k=1,6]{P(k)^2}-(2/6)農[k=1,6]P(k) +6/36
=農[k=1,6]{P(k)^2-(2/6)P(k)+(1/6)^2}=農[k=1,6]{(P(k)-(1/6))^2}
即ちΣ_[k=1,6]{P(k)-1/6}^2=P-1/6
0074１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 02:30:04.420075１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 02:39:32.41何か益あるのかと
007662
2012/02/04(土) 02:59:13.24たいへんよくわかりました。
ありがとうございます。
しかし「P≧1/6なのでP-1/6を考える」というのは思いつくとしても、
「1/6=-2/6+1/6」を思いついて、
農[k=1,6]{(P(k)-(1/6))^2} に至るのは最初から答えが見えてる人じゃないと無理っぽいです。。。
0077１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 03:04:52.560078１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 03:21:59.94芸術的になる
0079１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 07:41:55.19>>47は>>71のつもりで書いたのだが。
ところで君はアンカの付け方を間違えてる。
レスをする相手のアンカをつけてくれないと意味がない。
自分のレス番号は書くなら名前欄に書く。
0080１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 09:48:05.52誘導なしで解くならこんな事はしない。
コーシー朱ワルツで一発。
0081１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 09:52:41.270082１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 18:27:05.96f(x)をrsin(2x+∂)に変形した時のrと∂の値をもとめよ(r>0.-π≦∂<πとする)
のような問題の時に単位円を使って求める方法があるらしいのですが分かりません
どのような手順を踏めばよろしいでしょうか？
008382
2012/02/04(土) 18:32:25.33√1^2+(-1)^2より√2ということは分かりました
0084１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 18:35:38.92を一つの正弦波関数であらわすときの答えを教えてください
0085１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 18:36:31.81てかお前加法定理は知ってんの
(因みに答えはr=√2,θ=-π/4)
0086１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 18:40:06.992√2sin(ωt-2π/3)
008882
2012/02/04(土) 18:43:45.76sin2∂=2sin∂cos∂
f(x)=2sin∂cos∂-(1-2sin^2∂)
こうなるのか？
008982
2012/02/04(土) 18:47:40.84asin∂+bcos∂=√a^2+b^2・(sin∂・a/√a^2+b^2+cos∂・b/√a^2+b^)
これか。
0090１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 18:49:04.210091１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 18:49:48.210092１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 18:50:25.38> ∂の値
難しいな
0093１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 19:17:20.65θが[0,π/2]の範囲を動くときFの最大値をもとめよ。
F’(θ)=θcos(θ+a)=0 θ=0, π/2-a
Fはπ/2-aで最大
よってF(π/2-a)={xsin(x+a)}[π/2-a,0]-∫[π/2-a,0]sin(x+a)dx←
=π/2-a-cosa
よって～のくだりなのですが、
どう処理したらこの式が出てくるのかわかりません。
というか∫f(x)g(x)←こんな積分ないですよね？xとcos合成できませんし
なんか変なこと言ってるかもですがよろしくです。
0094１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 19:28:47.86部分積分では？
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