後で述べる Sylow の定理の証明には以下のような状況が利用される。

G を群とする。
τ：G → Aut(G) を内部表現（>>749）とする。
τ により G は G-集合となる。
P(G) を G の冪集合、即ち G の部分集合全体とする。
>>752より P(G) は G-集合となる。
A を G の部分集合とする。
A と共役（>>792）な G の部分集合全体を S(A) とする。
即ち S(A) は A の軌道（>>92）である。
S(A) は P(G) の G-部分集合（>>94）である。
H を G の部分群とする。
G の S(A) に対する作用を H に制限することにより S(A) は H-集合となる。