定義
G を群とする。
G は G の各元を射とすることにより一個の対象 G を持つ圏と見なされる。
C を圏とする。
関手 F：G → C を G の C における表現と言う。
X = F(G) のとき X は表現 F の表現対象と呼ぶ。
三つ組 (G, F, X) を表現とも言う。

各 σ ∈ G に対して F(σ)F(σ^(-1)) = F(σ^(-1))F(σ) = F(1) = 1 であるから
F(σ) は X の自己同型である。
σ に F(σ) を対応させることにより準同型 G → Aut(X) が得られる。
逆に準同型 f：G → Aut(X) があるとき関手 F：G → C で F(X) = X となり
各 σ ∈ G に対して F(σ) = f(σ) となるものが一意に存在する。
よって、G の C における表現とは
群 G と X ∈ C と準同型 f：G → Aut(X) の三つ組 (G, f, X) と見なせる。
G の C におけるある表現 (G, f, X) があるとき X を C における G-対象とも言う。
このとき f を G-対象 X の標準射と呼ぶ。

このとき、各 σ ∈ G に対して射 f(σ)：X → X が定まる。
f(σ) を σ と略記することがある。
即ち σ：X → X は C の射である。