>>717の修正

命題
G を位相群とする。
X を局所コンパクト空間（>>593）とし、G は X に連続に作用する（>>134）とする。
さらに G の作用は推移的（>>107）であるとする。
このとき以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結（>>537）である。
(2) X の各点 x は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
(3) X のある点 x_0 は x_0 を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>597より X は完全分離（>>538）である。
よって、任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
よって、x は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。

(2) ⇒ (1)
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
よって、X は完全分離（>>538）である。
よって、>>597より X は完全不連結（>>538）である。

(2) ⇒ (3)
自明である。

(3) ⇒ (2)
G の作用は推移的だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して σx = x_0 となる σ ∈ G がある。
σx ≠ σy だから σx ∈ U、σy ∈ X - U となる開かつ閉な U がある。
x ∈ σ^(-1)U、y ∈ X - σ^(-1)U となり σ^(-1)U は開かつ閉である。
よって、x は x を含む X の開かつ閉な部分集合全体の共通集合である。
証明終