補題
X と Y を位相空間とし、X は準コンパクト（>>64）であるとする。
f：X → Y を連続写像とする。
このとき f(X) は Y の準コンパクトな部分空間である。

証明
(U_i)、i ∈ I を f(X) の開被覆とする。
(f^(-1)(U_i))、i ∈ I は X の開被覆である。
X は準コンパクトだから I の有限部分集合 J があり
X = ∪{f^(-1)(U_i)；i ∈ J} となる。
よって、f(X) ⊂ ∪{U_i；i ∈ J} となる。
よって、f(X) は準コンパクトである。
証明終