命題
A を痩せたグラフ（>>648）とする。
X = Ob(A) とする。
R = {(x, y) ∈ X×X；Hom(x, y)（>>636）は空集合でない} とおく。
π_i：X×X → X、i = 1、2 を射影とする。
π_i、i = 1、2 を R に制限した写像を p_i：R → X、i = 1、2 とする。
>>649で見たように B = (X、R、p_1、p_2) は痩せたグラフである。
1_X：X → X を恒等写像とする。
A の射 u：x → y に (x, y) ∈ R を対応させる写像を f_1：Hom(A) → R とする。
このとき f = (1_X, f_1) は A から B への同型射（>>653）である。

証明
f：A → B が射（>>639）であることは明らかである。

(x, y) ∈ R のとき A の射 u：x → y が一意に定まる。
(x, y) ∈ R に u ∈ Hom(A) を対応させる写像を g_1：R → Hom(A) とする。
g = (1_X, g_1) は B から A への射である。

g_1f_1 = 1_Hom(A)、f_1g_1 = 1_R
よって、gf = 1_A（>>641）、fg = 1_B である。
よって、f：A → B は同型射（>>653）である。
証明終