補題
X を位相空間とする。
X がHausdorffであるためには、
X×X の対角集合 Δ = {(x, x)；x ∈ X} が X×X の閉集合であることが必要十分である。

証明
x ∈ X、y ∈ X、x ≠ y とし U と V をそれぞれ x と y の近傍とする。
U×V は (x, y) の X×X における近傍である。
>>56より U ∩ V = φ となるためには (U×V) ∩ Δ = φ となることが必要十分である。
よって、X がHausdorffであるためには、X×X - Δ が開集合であることが必要十分である。
よって、X がHausdorffであるためには、Δ が閉集合であることが必要十分である。
証明終