命題
>>54において、∩{N; N ∈ Σ} は {e} の閉包である。
ここで e は G の単位元えある。

証明
F = ∩{N; N ∈ Σ} とおく。
{e} の閉包を {e}~ と書く。
N ∈ Σ、x ∈ N のとき xN = N だから N は開部分群である。
よって、任意の y ∈ G に対して yN は開集合である。
G を N による剰余類で類別すれば G - N は yN の形の部分集合の合併である。
よって、N は閉集合である。
よって、{e}~ ⊂ F である。
逆の包含関係を示せば良い。
x ∈ F とする。
各 N ∈ Σ に対して x ∈ N だから xN = N
よって、e ∈ xN
よって、x ∈ {e}~
よって、F ⊂ {e}~
証明終