命題
X を位相空間とする。
X における２項関係 〜 を次のように定義する。

x 〜 y ⇔ X のある連結（>>529）な部分集合 A があり x ∈ A かつ y ∈ A となる。

このとき、関係 〜 は同値関係である。

証明
x 〜 y かつ y 〜 z なら x 〜 z となることのみ証明すれば十分である。
x ∈ A かつ y ∈ A
y ∈ B かつ z ∈ B
となる連結な部分集合 A、B がある。
>>532より A ∪ B は連結である。
よって、x 〜 z である。
証明終