命題
X を位相空間とする。
以下の条件は同値である。

（1）X は連結（>>527）である。
（2）X の開かつ閉な部分集合は X または空集合のみである。
（3）X の閉集合 F_1、F_2 で以下の条件を満たすものは存在しない。
　　・F_1 と F_2 は空でない。
　　・F_1 ∩ F_2 = φ
　　・X = F_1 ∪ F_2
（4）X の部分集合 X_1、X_2 で以下の条件を満たすものは存在しない。
　　・X_1 と X_2 は空でない。
　　・(X_1)~ ∩ X_2 = X_1 ∩ (X_2)~ = φ
　　・X = X_1 ∪ X_2
　　ここで (X_1)~ と (X_2)~ はそれぞれ X_1 と X_2 の閉包を表す。
（5）{0, 1} を２点からなる離散空間（>>60）とする。
　　このとき任意の連続写像 f：X → {0, 1} に対して f(X) = {0} または f(X) = {1} である。

証明
（1）⇔ （2）：自明である。
（1）⇔ （3）：自明である。
（3）⇒ （4）：
（4）の条件を満たす X_1、X_2 が存在したとする。
(X_1)~ ∩ X_2 = φ だから (X_1)~ ⊂ X - X_2 = X_1
よって、X_1 = (X_1)~
よって、X_1 は閉集合である。
同様に X_2 は閉集合である。
よって、X_1 ∩ X_2 = φ だから（3）に矛盾する。

（4）⇒ （3）：自明である。
（1）⇔ （5）：自明である。
証明終