命題
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の有限次の線型環（過去スレpart1の97）で零因子を持たないとする。
このとき E は必ずしも可換とは限らない体である。

証明
α ≠ 0 を E の元とする。
x ∈ E に αx ∈ E を対応させる写像を f：E → E とする。
f は K-線型写像である。
E は零因子を持たないから f は単射である。
K は K 上有限次だから f は全射である。
よって、αy = 1 となる y がある。

同様に x ∈ E に xα ∈ E を対応させる写像 g：E → E は全単射である。
よって、zα = 1 となる z がある。

y = 1y = (zα)y = z(αy) = z1 = z
よって y は α^(-1) である。
よって、E は可換とは限らない体である。
証明終