命題
K を可換体とする。
H/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
α_1、．．．、α_n を H の元の有限列で K 上代数的独立（>>2）であるとする。
σ を {1、．．．、n} の任意の置換とする。
このとき α_σ(1)、．．．、α_σ(n) は K 上代数的独立である。

証明
K[X_1、．．．、X_n] を多項式環とする。
過去スレpart4の550より K-線型環としての準同型 ψ：K[X_1、．．．、X_n] → H で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
このとき各 i に対して ψ(X_σ(i)) = α_σ(i) である。
α_1、．．．、α_n は K 上代数的独立であるから ψ は単射である。
K[X_1、．．．、X_n] = K[X_σ(1)、．．．、X_σ(n)] であるから
α_σ(1)、．．．、α_σ(n) は K 上代数的独立である。
証明終