命題
K ⊂ L ⊂ H を可換体の塔（過去スレpart4の864）とする。
L/K は K 上代数的とする。
S を H の部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき S は L 上代数的独立である。

証明
S は空でないとしてよい。
T を S の任意の空でない有限部分集合とする。
T の濃度を n とする。
L/K は K 上代数的であるから>>28の（2）より L(T) = L(K(T)) は K(T) 上代数的である。
>>38より tr.dim L(T)/K = tr.dim K(T)/K + tr.dim L(T)/K(T) = tr.dim K(T)/K = n
一方、tr.dim L(T)/K = tr.dim L/K + tr.dim L(T)/L = tr.dim L(T)/L
よって、tr.dim L(T)/L = n
n ≧ 1 だから T の元で L 上代数的でないものがある。
よって、>>34より T は L(T)/L の超越基底 U を含む。
>>31より U の濃度は n だから T = U である。
よって、T は L 上代数的独立である。
T は S の任意の空でない有限部分集合であるから S は L 上代数的独立である。
証明終