命題
K を可換体とする。
E/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
L_1、L_2 を E/K の中間体（過去スレpart4の854）で各 L_i/K は正規拡大とする。
L を E における L_1 と L_2 の合成体（>>298）とする。
G = Aut(L/K)
H_i = Aut(L/L_i)、i = 1、2 とおく。
各 L_i の L における相対純非分離閉包（>>334）を (L_i)~ とする。
K の L における相対純非分離閉包を K~ とする。
(L_1)~ ∩ (L_2)~ ⊂ K~ とする。
このとき G は H_1 と H_2 の位相群としての直積である。

証明
>>337より L/K は正規拡大である。
>>261より 各 H_i は G の正規部分群である。
>>252より各 H_i は G の閉部分群である。
>>299より H_1 ∩ H_2 = {1} である。
H = (H_1)(H_2) とおく。
>>239より G はコンパクトである。
よって、>>347より G = H を示せばよい。

（続く）