命題
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
Γ を L の空でない部分集合で L は K(Γ) 上代数的（過去スレpart4の633）とする。
T を Γ の空でない部分集合で K 上代数的独立とする。
このとき T ⊂ S ⊂ Γ となる L/K の超越基底（>>9）S が存在する。

証明
T ⊂ Z ⊂ Γ となる L の部分集合 Z で K 上代数的独立なもの全体を Ψ とする。
Φ を Ψ の空でない部分集合で包含関係により全順序集合となるとする。
W = ∪{Z ∈ Φ} とおく。
U を W の空でない有限部分集合とする。
Φ は包含関係により全順序集合であるから U ⊂ Z となる Z ∈ Φ がある。
Z は K 上代数的独立であるから U は K 上代数的独立である。
よって、W は K 上代数的独立である。
W ⊂ Γ であるから W ∈ Ψ である。
よって、Zornの補題より Ψ は極大元 S を持つ。
任意の α ∈ Γ - S に対して S ∪ {α} は K 上代数的独立ではない。
よって、>>32より α は K(S) 上代数的（過去スレpart4の544）である。
よって、K(Γ) = K(S)(Γ) は K(S) 上代数的である。
L は K(Γ) 上代数的であるから>>28より L は K(S) 上代数的である。
よって、S は L/K の超越基底である。
証明終