命題
K を可換体とする。
E/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
L_1、L_2 を E/K の中間体（過去スレpart4の854）で各 L_i/K は正規拡大とする。
L を L_1、L_2 の合成体（>>298）とする。
>>337より L/K は正規拡大である。
G_i = Aut(L_i/K)、i = 1、2 とおく。
G = Aut(L/K) とおく。
このとき、L_1 ∩ L_2 = K であれば、>>338の λ：G → (G_1)×(G_2) は位相群の同型である。

証明
>>338より、λ は連続な単射準同型である。
>>239より G は準コンパクトで>>238より (G_1)×(G_2) はHausdorffだから
>>74より λ が全射であることを証明すればよい。
>>335より、任意の τ_1 ∈ G_1 に対して σ_1 ∈ Aut(L/L_2) で σ_1|L_1 = τ_1 となるものがある。
σ_1|L_2 = 1 だから λ(σ_1) = (τ_1、1) である。
同様に、任意の τ_2 ∈ G_2 に対して σ_2 ∈ G(L/L_1) で σ_2|L_2 = τ_2 となるものがある。
σ_2|L_1 = 1 だから λ(σ_2) = (1、τ_2) である。
このとき、λ(σ_1σ_2) =λ(σ_1)λ(σ_2) = (τ_1、1)(1、τ_2) = (τ_1、τ_2)
よって、λ は全射である。
証明終