命題
K を可換体とする。
L/K を分離代数的拡大（過去スレpart4の633）とする。
L/K が有限次（過去スレpart4の842）でないなら [L ： K]_s（>>313）は有限でない。

証明
>>317より L/K の中間体の列 (K_n)、n = 0、1、2、．．．で以下の条件を満たすものが存在する。
K_0 = K
n ≦ m なら K_n ⊂ K_m
n ＜ m なら K_n ≠ K_m
各 [K_(n+1) ： K_n] は有限

よって、各 n に対して [K_(n+1) ： K_n] ＞ 1 である。
一方、過去スレpart4の561より [K_(n+1) ： K] = [K_(n+1) ： K_n][K_n ： K]
よって、[K_(n+1) ： K] ＞ [K_n ： K]
よって、n → ∞ のとき lim [K_n ： K] = ∞ である。

>>316より [L ： K]_s = [L ： K_n]_s[K_n ： K]_s
一方、過去スレpart1の269より [K_n ： K] = [K_n ： K]_s
よって、[L ： K]_s が有限なら [L ： K]_s ≧ [K_n ： K] となって
数列 ([K_n ： K])、n = 0、1、2、．．．は有界である。
しかし、n → ∞ のとき lim [K_n ： K] = ∞ だからこれは矛盾である。
よって、[L ： K]_s は有限でない。
証明終