命題
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
{x_1、．．．、x_n} を L/K の超越基底（>>9）とする。
{y_1、．．．、y_m} を L の部分集合で K 上代数的独立（>>7）であるとする。
このとき m ≦ n である。

証明
r を 1 ≦ r ≦ m となる任意の整数とする。
r ≦ n であり、x_1、．．．、x_n の番号を適当に付け替えて
x_1、．．．、x_r を y_1、．．．、y_r で置き換えることにより
L が K(y_1、．．．、y_r、．．．、x_n) 上代数的（過去スレpart4の633）になることを
r に関する帰納法で証明しよう。
そうすれば r = m のとき m ≦ n となる。

r = 1 とする。
y_1 は K(x_1、．．．、x_n) 上代数的（過去スレpart4の553）である。
よって、f(y_1、x_1、．．．、x_n) = 0 となる f ∈ K[Y_1、X_1、．．．、X_n] で
f ≠ 0 であるものが存在する。
y_1 は K 上代数的でないから f(Y_1、X_1、．．．、X_n) の各単項式にはどれかの X_i が現れる。
x_1、．．．、x_n の番号を付け替えて i = 1 と仮定してよい。
よって、n = 1 のとき x_1 は K(y_1) 上代数的である。
よって、過去スレpart4の607より K(y_1, x_1) = K(y_1)(x_1) は K(y_1) 上代数的である。
K(y_1) ⊂ K(y_1、x_1) ⊂ L であり、L/K(y_1、x_1) は代数的であるから
>>28より L/K(y_1) は代数的である。
n ≧ 2 のとき x_1 は K(y_1、x_2、．．．、x_n) 上代数的である。
上記と同様に L は K(y_1、x_2、．．．、x_n) 上代数的である。
以上から r = 1 の場合に上記の主張は証明された。

（続く）