命題（Galois理論の基本定理）
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大（過去スレpart4の844）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G に標準位相（>>216）を入れる。
以下>>247の記法を使う。
H ∈ Sub(G) のとき H~ を H の閉包とする。

このとき
任意の M ∈ Φ(L/K) に対して kg(M) = M である。
任意の H ∈ Sub(G) に対して gk(H) = H~ である。

g(Φ(L/K)) = CSub(G)
k(Sub(G)) = Φ(L/K)
である。

g の値域を CSub(G) に制限した写像を g~：Φ(L/K) → CSub(G) とおく。
k の定義域を CSub(G) に制限した写像を k~：CSub(G) → Φ(L/K) とおく。
このとき、g~ は全単射であり、k~ は g~ の逆写像である。

証明
L/K は分離的だから任意の M ∈ Φ(L/K) に対して L/M は分離的である。
よって、過去スレpart2の535より M~ = M である。
よって、>>282より本命題が直ちに得られる。
証明終