命題（代数的整数論001の631を少し修正して再録）
K を可換体とする。
L/K を正規拡大（過去スレpart4の844）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G に標準位相（>>216）を入れる。
H を G の部分群とする。
M = L^H （過去スレpart4の863）とする。
このとき Aut(L/M) （過去スレpart4の847）は H の閉包である。

証明
H の閉包を H~ とする。
H ⊂ Aut(L/M) は明らかである。
>>252より Aut(L/M) は G の閉部分群であるから H~ ⊂ Aut(L/M) である。
よって、σ ∈ Aut(L/M) の任意の近傍が H の元を含むことを示せばよい。
E/K を K の中間体で有限次（過去スレpart4の842）の正規拡大であるとする。
>>260より Aut(E/K) は G の基本開近傍である。
よって、σAut(E/K) = U(σ；E)（>>216）が H の元を含むことを示せばよい。
ME を M と E の合成体（過去スレpart4の901）とする。
>>261より ME/M は正規拡大である。
ME/M は有限生成（>>215）だから>>250より ME/M は有限次拡大（過去スレpart4の842）である。
過去スレpart4の876より σ ∈ H のとき σ(ME) = ME である。
よって、σ の ME への制限 σ|ME は Aut(ME/M) の元である。
よって、σ ∈ H に σ|ME を対応させることにより準同型 φ: H → Aut(ME/M) が得られる。
φ(H) で固定される ME の部分体は M である。
ME/M は有限次拡大であるから、Artinの定理(過去スレpart1の438)または過去スレpart1の452より、
φ(H) = Aut(ME/M) である。
つまり、φ は全射である。
σ ∈ Aut(L/M) のとき σ|ME ∈ Aut(ME/M) であるから、
σ|ME = φ(η) となる η ∈ H がある。
E ⊂ ME であるから、σ|E = η|E となる。
これは、η ∈ U(σ；E) （>>216）を意味する。
証明終