命題
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（過去スレpart4の633）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G は標準位相（>>216）でコンパクト（>>64）である。

証明
>>238より G はHausdorffである。
よって、G が準コンパクト（>>64）であることを証明すれば良い。
各 x ∈ L に対して π_x：L^L → L を射影とする。
即ち f ∈ L^L のとき π_x(f) = f(x) である。
x の K 上の最小多項式を f(X) とする。
f(X) の L における根全体の集合を S_x とする。
任意の σ ∈ G に対して σ(x) ∈ S_x である。
よって、π_x(G) ⊂ S_x
よって、G ⊂ Π[x ∈ L] S_x ⊂ L^L
各 S_x は有限集合だから>>67より離散位相で準コンパクトである。
よって、Tychonoffの定理（代数的整数論009の432）より
Π[x ∈ L] S_x は L^L の準コンパクトな部分空間である。
よって、>>68より G が L^L の閉集合であることを証明すれば良い。
G の L^L における閉包を G~ とする。
f ∈ G~ のとき f ∈ G を証明すれば良い。
任意の x、y ∈ L に対して σ ∈ G があり
f(x) = σ(x)、f(y) = σ(y)、f(x + y) = σ(x + y)、f(xy) = σ(xy) となる。
よって、f(x + y) = f(x) + f(y)、f(xy) = f(x)f(y) である。
x ∈ K なら f(x) = σ(x) = x である。
よって、f：L → L は K-埋め込み（過去スレpart4の514）である。
L/K は代数的であるから過去スレpart4の865より f(L) = L である。
よって、f ∈ G である。
証明終