命題
G を位相群とする。
N を G の正規部分群とする。
このとき G/N は商位相に関して位相群となる。

証明
g：(G/N)×(G/N) → (G/N) を g(π(x), π(y)) = π(x)π(y)^(-1) で定義する。
g が連続なことを証明すれば良い。
π：G → G/N を標準写像とする。
写像 f：G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) で定義する。
写像 h：G×G → (G/N)×(G/N) を h(x, y) = (π(x), π(y)) で定義する。
πf(x, y) = π(xy^(-1)) = π(x)π(y)^(-1) = g(π(x), π(y)) = gh(x, y)
よって、πf = gh
よって、次の可換図式が得られる。

　G×G　　　→　　G
　↓　　　　　　　↓
(G/N)×(G/N) → (G/N)

>>152より π は開写像である。
よって、>>141より h は開写像である。
U を G/N の任意の開集合とする。
πf = gh より
(πf)^(-1)(U) = = (gh)^(-1)(U) = h^(-1)(g^(-1)(U))
f と π は連続だから πf は連続である。
よって、h^(-1)(g^(-1)(U)) は G×G の開集合である。
V = g^(-1)(U) とする。
V が (G/N)×(G/N) の開集合であることを示せば良い。
h^(-1)(V) は G×G の開集合である。
h は全射だから V = h(h^(-1)(V)) である。
一方、h は開写像だから V は開集合である。
証明終