命題
G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用する（>>134）とする。
さらに G の作用は推移的（>>107）であるとする。
このとき、X が G 上の等質空間（>>195）であるためには X のある点 x_0 に対して
σ ∈ G に σx_0 を対応させる写像 f_0：G → X が開写像（>>136）であることが必要十分である。

証明
必要性：>>199で証明されている。

十分性：
X のある点 x_0 に対して f_0：G → X が開写像であるとする。
>>199より X の任意の点 x に対して
σ ∈ G に σx を対応させる写像 f_x：G → X が開写像（>>136）であることを示せば良い。
G の作用は推移的であるから σx_0 = x となる σ ∈ G がある。
G の任意の開集合 U に対して Uσ は G の開集合である。
よって、f_0(Uσ) は X の開集合である。
一方、f_x(U) = Ux = U(σx_0) = (Uσ)x_0 = f_0(Uσ)
よって、f_x は開写像である。
証明終