命題
G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用する（>>134）とする。
さらに G の作用は推移的（>>107）であるとする。
このとき、X が G 上の等質空間（>>195）であるためには X の任意の点 x に対して
σ ∈ G に σx を対応させる写像 f_x：G → X が開写像（>>136）であることが必要十分である。

証明
x を G の任意の点とする。
H_x = St(x)（>>93）とする。
σH ∈ G/H_x に σx ∈ X を対応させる写像を g_x：G/H_x → X とする。
G は X に推移的に作用するから g_x は全単射である。
π_x：G → G/H_x を標準写像とする。
f_x = g_xπ_x である。
f_x は連続であるから g_x は連続である。
よって、g_x が位相同型であるためには g_x が開写像であることが必要十分である。

>>152より π_x は開写像であるから g_x が開写像なら f_x も開写像である。

逆に f_x が開写像であるとする。
U を G/H_x の開集合とする。
V = (π_x)^(-1)(U) とする。
π_x は全射だから π_x(V) = U である。
よって、f_x(V) = g_xπ_x(V) = g_x(U) は X の開集合である。
よって、g_x は開写像である。
証明終