ガロア生誕200周年記念スレ part 5
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0001１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 11:53:13.07Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
0153Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/04(土) 20:57:32.84G を位相群とする。
H を G の部分群とする。
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
このとき G は G/H に連続に作用する（>>134）。
証明
>>152より標準写像 π：G → G/Hは開写像である。
よって、>>148より G は G/H に連続に作用する。
証明終
0154１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 20:58:25.40俺、自信があるんだ。
君だけは許さない自信をね。
0156１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 21:28:42.53もっと先が出来ないの？
というか、コピペする本をもっとまともな本にしたらどう？
0157１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 21:31:00.750158１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 21:40:12.310159１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 22:53:48.55この野郎！
0161１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 23:02:12.970162猫の活け造り ◆MuKUnGPXAY
2012/02/04(土) 23:19:06.20必ずしも同じではない。だが、どちらも激しい蔑みの言葉。Kummerを叩く
者はワシが許さへんのや。
猫
0163１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 23:21:54.14誤解なきよう。
0164１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 23:23:34.92よくある関西流の馬鹿＜＜（セーフの壁）＜＜アホ、というニュアンスはないことね、了解
0165１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 23:28:34.54おいおい、今日はもうシマいかいな。それでエエのかァ！
0166猫の活け造り ◆MuKUnGPXAY
2012/02/04(土) 23:45:43.81ワシは『「Kummerを叩く者」を叩く』という主張や。つまり「オマエは
Kummerを叩く者」やから、従って『ワシがオマエを叩く』っちゅう結論
が得られるのや。
猫
0167１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 23:49:38.84したがって、ここにジハードを宣告する。以後、注意深く書き込みをするように。
0168あんでぃ ◆AfX9iez2fA
2012/02/04(土) 23:49:44.560169猫は増量中也 ◆MuKUnfKUP6
2012/02/04(土) 23:50:57.89オラァ、とっととクズみたいな数学を披露しろやナ。ワシが読んだるがな。
猫
0170１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 23:54:45.35ハッとしたぜ
0171猫の活け造り ◆MuKUnGPXAY
2012/02/05(日) 00:08:45.27猫
0172猫の活け造り ◆MuKUnfKUP6
2012/02/05(日) 00:13:33.37アンタ、謝罪と賠償がまだ済んでへんのやろ。
さっさと済ましたほうが互いのタメになるやろうが。ちゃうかァ！
猫
0173猫は自由 ◆MuKUnGPXAY
2012/02/05(日) 00:47:02.53猫
0174１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 00:50:54.770175１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 00:52:34.970176１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 00:54:08.720177１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 00:54:12.55猫にまでばかにされておるぞw
0178猫は自由 ◆MuKUnfKUP6
2012/02/05(日) 00:56:00.82偽物であるかそうではないかの解釈は貴方に任せます。
私にとって『発言の連続性があれば、それは他人であっても構わない』と
考えていますので、したがって貴方の解釈に依存することになります。
0179猫は訂正 ◆MuKUnfKUP6
2012/02/05(日) 00:56:36.92偽物であるかそうではないかの解釈は貴方に任せます。
私にとって『発言の連続性があれば、それは他人であっても構わない』と
考えていますので、したがって貴方の解釈に依存することになります。
猫
0180１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 00:56:40.03おれが猫になってやるさかい
0181１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 00:58:51.42判りかりづらくて庄内
0182猫は自由 ◆MuKUnfKUP6
2012/02/05(日) 00:58:55.12事にしか関心がアラヘンさかいナ。今後も幾らでも痛め付けたるさかいナ。
猫
0183１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 01:05:54.07唯一の友達の猫にも叩かれてるやんｗ
惨めやのうｗ
0184猫は自由 ◆MuKUnfKUP6
2012/02/05(日) 01:09:45.97が司法判断の下に情報開示を求められんとアカンやろ。そやけどや、そ
ういう状況にナルには何らかの事件性が無いとどうにもナラヘンやろ。
そやから「事実上はアアや、コウや」と言うても無駄やね。
まあ頑張ってミロや。ワシは見たるさかいナ。
猫
0185猫は自由 ◆MuKUnGPXAY
2012/02/05(日) 01:41:04.23何が本物で何が偽者かは重要ではない。人間の目に見えるモノなんて所詮
は幻想でしかないので。
猫
0186１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 02:05:15.70一つだけやる。好きに使ってええで
0187 ◆MuKUnQvcZQ
2012/02/05(日) 02:07:16.270188? ＊＊論研究報告
2012/02/05(日) 02:37:00.12高校の一年の時からすでに宇宙の万有方程式を導いた。
小学校の５〜６年の時振り子の等時性と落下は重さによらないことを
思考実験で証明した。また光と光のの衝突について考察した。中学の時は
質量に引力がある事に気が付いた。ピタゴラスの定理知らないでその公式
導いた。（実際は計算間違いしたがその導き方は正しかった。比例で解いた）
高校では数学的帰納法を考え付いた。
さてわしのような輝かしい実績を持つ者は周りと合わず迫害される。
チミたちの実績は東京大学合格かな。だがな英語の入試問題、本場
アメリカ人も解けないというよ。わしも同じさ。本場学問のわたくし
には難しすぎま〜す。
そんな難しい入試突破しても実用にはならんとか。ちょっと考えたら
どうなんだよ。左脳さん。
ガロアはわしと同じ天才さ。２０歳で殺されたんだな。綺麗なね〜ちゃん
の美人局に。ガロアがわし位生きていたら、今の数学は多分何百年も先を行っていただろう。
そうなっていたら、それがどんなに人類の発展に寄与したか。
たかがつまらん奴らにはめられて人類はとんでもない損失を被ったのだ。
そして今同じことがこのわしに・・・・・・・・。
0189１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 02:43:55.640190? ＊＊論研究報告
2012/02/05(日) 03:08:08.76523 ：１３２人目の素数さん：2012/02/04(土) 07:11:35.01
研究所の検証者と研究所の研究者は越えられない壁があり
前者をもって研究といっている勘違いな君が新しい概念を発見するのではなく
他人が発見した何かを応用するための根底を検証し「残りカス」、すなわち
こぼれた残飯をあさっているだけのクズである。
その検証をするには高いＩＱ的な処理能力が必要であるが、未知の研究を
するにはこの世の論理を否定するほどの直感が必要があるわけ。
新しい概念想像でもっとも重要なのは観じること才能である。
戦術的な論理勝負で勝ち負けを決めているお前らにそんなものはない。
0191１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 03:58:18.530192Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 05:51:25.43R を集合 X 上の同値関係とする。
X×X の部分集合 G = {(x, y) ∈ X×X； x ≡ y (mod R)} を R のグラフと言う。
0193Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 06:04:38.09X を位相空間とする。
R を X 上の同値関係とする。
G = {(x, y) ∈ X×X； x ≡ y (mod R)} を R のグラフ（>>192）とする。
π：X → X/R を標準写像とする。
G が X×X の閉集合であり π が開写像（>>136）であるとする。
このとき X/R はHausdorffである。
証明
x、y ∈ X、π(x) ≠ π(y) とする。
(x, y) ∈ X×X - G であり G は X×X の閉集合であるから
x ∈ U、y ∈ V、U×V ⊂ X×X - G となる X の開集合 U、V がある。
π(x) ∈ π(U)、π(y) ∈ π(U)
π(U) ∩ π(V) = φ である。
π は開写像であるから π(U) と π(V) は X/R の開集合である。
よって、X/R はHausdorffである。
証明終
0194Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 06:17:39.12G を位相群とする。
H を G の閉部分群とする。
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
このとき G/H はHausdorffである。
証明
π：G → G/H を標準写像とする。
>>152より π は開写像である。
よって、>>193より G 上の関係 x ≡ y (mod H) のグラフ（>>192）Γ が
G×G の閉集合であることを示せばよい。
(x, y) ∈ G×G に y^(-1)x ∈ G を対応させる写像を f：G×G → G とする。
x ≡ y (mod H) ⇔ xH = yH ⇔ y^(-1)x ∈ H ⇔ f(x, y) ∈ H
よって、Γ = f^(-1)(H) である。
f は連続であるから Γ は G×G の閉集合である。
証明終
0195Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 07:32:02.74G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用するとする（>>134）。
さらに G の作用は推移的（>>107）であるとする。
x を G の任意の点とする。
H_x = St(x)（>>93）とする。
σH ∈ G/H_x に σx ∈ X を対応させることにより全単射 g_x：G/H_x → X が得られる。
X の各点 x で g_x が位相同型であるとき X を G 上の等質空間(homogeneous space)と言う。
0196猫は要求 ◆MuKUnfKUP6
2012/02/05(日) 07:38:18.31ワシはアンタだけは許さへんのや。そやし徹底して焼き払うのや。
猫
0197猫はしつこい ◆MuKUnfKUP6
2012/02/05(日) 07:46:07.44コラァ、でてこい！ナメとったらエラいことになることぐらい
いくら低能のドアホにも分かるわなァ。
猫
0198猫はロンゲの池麺 ◆MuKUnGPXAY
2012/02/05(日) 08:00:30.24ケケケ猫
0199Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 08:45:59.64G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用する（>>134）とする。
さらに G の作用は推移的（>>107）であるとする。
このとき、X が G 上の等質空間（>>195）であるためには X の任意の点 x に対して
σ ∈ G に σx を対応させる写像 f_x：G → X が開写像（>>136）であることが必要十分である。
証明
x を G の任意の点とする。
H_x = St(x)（>>93）とする。
σH ∈ G/H_x に σx ∈ X を対応させる写像を g_x：G/H_x → X とする。
G は X に推移的に作用するから g_x は全単射である。
π_x：G → G/H_x を標準写像とする。
f_x = g_xπ_x である。
f_x は連続であるから g_x は連続である。
よって、g_x が位相同型であるためには g_x が開写像であることが必要十分である。
>>152より π_x は開写像であるから g_x が開写像なら f_x も開写像である。
逆に f_x が開写像であるとする。
U を G/H_x の開集合とする。
V = (π_x)^(-1)(U) とする。
π_x は全射だから π_x(V) = U である。
よって、f_x(V) = g_xπ_x(V) = g_x(U) は X の開集合である。
よって、g_x は開写像である。
証明終
0200１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 08:54:03.53それは俺に対して何を批判しても説得力がなくなるということ
稀に正等かつ辛らつな批判があってもなｗ
0201１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 08:55:22.070202Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 09:19:45.32G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用する（>>134）とする。
さらに G の作用は推移的（>>107）であるとする。
このとき、X が G 上の等質空間（>>195）であるためには X のある点 x_0 に対して
σ ∈ G に σx_0 を対応させる写像 f_0：G → X が開写像（>>136）であることが必要十分である。
証明
必要性：>>199で証明されている。
十分性：
X のある点 x_0 に対して f_0：G → X が開写像であるとする。
>>199より X の任意の点 x に対して
σ ∈ G に σx を対応させる写像 f_x：G → X が開写像（>>136）であることを示せば良い。
G の作用は推移的であるから σx_0 = x となる σ ∈ G がある。
G の任意の開集合 U に対して Uσ は G の開集合である。
よって、f_0(Uσ) は X の開集合である。
一方、f_x(U) = Ux = U(σx_0) = (Uσ)x_0 = f_0(Uσ)
よって、f_x は開写像である。
証明終
0203Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 09:40:07.74G を位相群とする。
X を空でない位相空間とし、G は位相空間 X に連続に作用する（>>134）とする。
さらに G の作用は推移的（>>107）であるとする。
このとき、X が G 上の等質空間（>>195）であるためには X のある点 x_0 があり、
G の単位元 e の任意の開近傍 V に対して Vx_0 が X の開集合であることが必要十分である。
証明
必要性：>>199で証明されている。
十分性：
>>202より G の任意の開集合 U に対して Ux_0 が X の開集合であることを証明すれば良い。
σ ∈ U なら σ^(-1)U は e を含む開集合である。
仮定から σ^(-1)Ux_0 は X の開集合である。
よって、>>135より σ(σ^(-1)Ux_0) = Ux_0 は X の開集合である。
証明終
0204Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 09:55:18.58G を位相群とする。
H を G の閉部分群とする。
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
このとき G/H は G 上の等質空間（>>195）である。
証明
G は G/H に推移的（>>107）に作用する。
>>153より G は G/H に連続に作用する（>>134）。
π：G → G/H を標準写像とする。
>>152より標準写像 π：G → G/H は開写像である。
よって、e を G の単位元とすると、
G の任意の開集合 U に対して Uπ(e) = π(U) は開集合である。
よって、>>202より G/H は G 上の等質空間である。
証明終
0205１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 09:55:24.67訂正しろよ
0206１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 09:58:13.610207Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 10:22:30.62G を位相群とする。
N を G の正規部分群とする。
このとき G/N は商位相に関して位相群となる。
証明
g：(G/N)×(G/N) → (G/N) を g(π(x), π(y)) = π(x)π(y)^(-1) で定義する。
g が連続なことを証明すれば良い。
π：G → G/N を標準写像とする。
写像 f：G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) で定義する。
写像 h：G×G → (G/N)×(G/N) を h(x, y) = (π(x), π(y)) で定義する。
πf(x, y) = π(xy^(-1)) = π(x)π(y)^(-1) = g(π(x), π(y)) = gh(x, y)
よって、πf = gh
よって、次の可換図式が得られる。
G×G → G
↓ ↓
(G/N)×(G/N) → (G/N)
>>152より π は開写像である。
よって、>>141より h は開写像である。
U を G/N の任意の開集合とする。
πf = gh より
(πf)^(-1)(U) = = (gh)^(-1)(U) = h^(-1)(g^(-1)(U))
f と π は連続だから πf は連続である。
よって、h^(-1)(g^(-1)(U)) は G×G の開集合である。
V = g^(-1)(U) とする。
V が (G/N)×(G/N) の開集合であることを示せば良い。
h^(-1)(V) は G×G の開集合である。
h は全射だから V = h(h^(-1)(V)) である。
一方、h は開写像だから V は開集合である。
証明終
0208Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 11:32:26.50G と H を位相群とする。
f：G → H を群としての準同型とする。
f が連続なためには f が G の単位元 e で連続なことがことが必要十分である。
証明
必要なことは明らかである。
f が G の単位元 e で連続であるとする。
x を G の任意の元とする。
f が x で連続であることを示せばよい。
U を f(x) の任意の近傍とする。
f(x)^(-1)U は H の単位元の近傍である。
よって e の近傍 V があり f(V) ⊂ f(x)^(-1)U となる。
このとき f(xV) = f(x)f(V) ⊂ U
xV は x の近傍であるから f は x で連続である。
証明終
0209Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 11:34:52.86G と H を位相群とする。
f：G → H を連続な準同型とする。
N を f の核とする。
f は群としての準同型 g：G/N → H を引き起こす。
このとき g は連続である。
証明
π：G → G/N を標準写像とする。
f = gπ である。
U を H の開集合とする。
f は連続であるから f^(-1)(U) = π^(-1)(g^(-1)(U)) は G の開集合である。
よって、g^(-1)(U)は G/N の開集合である。
よって、g は連続である。
証明終
0210Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 11:46:07.31G と H を位相群とする。
G は準コンパクト（>>64）で H はHausdorffであるとする。
f：G → H を連続な全射準同型とする。
N を f の核とする。
f は群としての同型 g：G/N → H を引き起こす。
このとき g は位相群の同型である。
証明
>>71より G/N は準コンパクトである。
>>209より g は連続である。
g は全単射であるから>>74より g は位相同型である。
証明終
0211Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 11:56:30.03G を位相群とする。
e を G の単位元とする。
G の位相が離散（>>60）であるためには {e} が G の開集合であることが必要十分である。
証明
必要性：
自明である。
十分性：
{e} が G の開集合であるとする。
G の任意の元 x に対して {x} が開集合であることを示せば良い。
>>135より y ∈ G に xy ∈ G を対応させる写像 h_x：G → G は位相同型である。
{x} = h_x({e}) であるから {x} は開集合である。
証明終
0212Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 12:16:51.52G を位相群とする。
H を G の部分群とする。
G/H = {σH； σ ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
G/H の位相が離散であるためには H が G の開集合であることが必要十分である。
証明
必要性：
G/H の位相が離散であるとする。
e を G の単位元とする。
π：G → G/H を標準写像とする。
{π(e)} は G/H の開集合である。
π は連続だから H = π^(-1)(π(e)) は G の開集合である。
十分性：
H が G の開集合であるとする。
任意の x ∈ G に対して {π(x)} が G の開集合であることを示せばよい。
>>152より π は開写像であるから π(H) = {π(e)} は G の開集合である。
>>153より G は G/H に連続に作用する。
よって、>>135より yH ∈ G/H に xyH ∈ G/H を対応させる写像 h_x は位相同型である。
h_x(π(e)) = xπ(e) = π(x) であるから {π(x)} は G の開集合である。
証明終
0213Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 12:25:05.51G を準コンパクト（>>64）な位相群とする。
H を G の開部分群とする。
このとき [G ： H] (過去スレpart1の492) は有限である。
証明
>>71より G/H は準コンパクトである。
>>212より G/H は離散である。
よって、>>67より G/H は有限集合である。
証明終
0214Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 12:30:29.31G を位相群とする。
H を G の閉部分群とする。
[G ： H] (過去スレpart1の492) が有限なら H は G の開部分群である。
証明
G - H は有限個の σH、σ ∈ G の形の部分集合の合併である。
>>135より x ∈ G に σx ∈ G を対応させる写像 h_σ：G → G は位相同型である。
H は G の閉部分群だから各 h_σ(H) = σH は閉集合である。
よって、G - H は閉集合である。
よって、H は G の開部分群である。
証明終
0215Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 12:35:22.92K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
L の有限部分集合 S があり L = K(S)（過去スレpart4の539）となるとき L は K 上有限生成である、
または L/K は有限生成であると言う。
0216Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 12:39:45.10K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
L から L への集合としての写像全体からなる集合を L^L と書く。
L^L は L を添字集合とする直積集合とみなせる。
L に離散位相（>>60）を入れ、L^L に直積位相を入れる。
G に L^L の部分空間としての位相を入れる。
この位相を G の標準位相と呼ぶ。
x_1、．．．、x_n を L の元とする。G の元 σ に対して
U(σ；x_1、．．．、x_n) = {τ ∈ G；σ(x_1) = τ(x_1)、．．．、σ(x_n) = τ(x_n)} とおく。
容易にわかるように U(σ; x_1, ... , x_n) は σ の開近傍であり、
x_1、．．．、x_n を変化させると σ の基本開近傍系が得られる。
L/K の中間体（過去スレpart4の854）E で E/K が有限生成（>>215）となるもの全体を Λ とする。
G の元 σ と E ∈ Λ と に対して U(σ；E) = {τ ∈ G；τ|E = σ|E} とおく。
E = K(x_1、．．．、x_n) のとき U(σ；E) = U(σ; x_1, ... , x_n) である。
よって、（U(σ；E)）、E ∈ Λ は σ の基本開近傍系である。
H = Aut(L/E) とすると容易にわかるように U(σ；E) = σH である。
0217あんでぃはショートの小田和正 ◆AfX9iez2fA
2012/02/05(日) 13:04:55.980218Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 13:44:41.85X を集合とする。
X の部分集合からなる集合 Ψ が以下の条件を満たすとき
Ψ を X のフィルター基底と言う。
1) Ψ は空ではない。
2) Ψ には空集合は含まれない。
3) A ∈ Ψ, B ∈ Ψ なら C ⊂ A ∩ B となる C ∈ Ψ がある。
0219１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 15:39:29.31むつかしく見せるアホw
0220１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 15:40:58.970221１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 16:10:49.93ポントリャーギンのだったら参考にしたのはほんの僅か
0222１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 16:12:44.70>むつかしく見せるアホw
別に難しくないだろｗ
0223１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 16:16:49.24塵も積もれば山となる。
だから俺はその塵を積み重ねているわけ。
0224１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 16:27:12.69簡単なことをおろそかにしない根気だけあればよい。
この根気が一番大事
0225１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 17:15:38.67数学者に対するコンプレックスが強いねえw おまえw
0226１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 17:16:21.940227Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 22:07:52.00X を集合とする。
X の各点 x に対して X の部分集合からなる集合 Ψ(x) があり以下の条件を満たすとする。
（1）Ψ(x) はフィルター基底（>>218）である。
（2）U ∈ Ψ(x) のとき x ∈ U
（3）U ∈ Ψ(x) のとき任意の y ∈ U に対して V ⊂ U となる V ∈ Ψ(y) がある。
このとき X の位相で X の各点 x に対して Ψ(x) が基本開近傍系となるようなものが一意に存在する。
証明
X の部分集合の集合 Σ を次の条件（*）で定める。
（*）U ∈ Σ ⇔ 各 x ∈ U に対して V ⊂ U となる V ∈ Ψ(x) がある。
Σ が位相を定めることは（1）を使って容易に分かる。
X の各点 x に対して Ψ(x) の各元 V は（2）と（3）より x の開近傍である。
逆に x ∈ U となる開集合 U があるとき（*）より V ⊂ U となる V ∈ Ψ(x) があるから
Ψ(x) は x の基本開近傍系である。
X の各点 x に対して Ψ(x) が基本開近傍系となるような位相の一意性は条件（*）から明らかである。
証明終
0228Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 22:11:42.59G を群とする。
Ψ を G の部分集合から集合で以下の条件を満たすとする。
（1）Ψ は G のフィルター基底（>>218）である。
（2）任意の U ∈ Ψ に対して VV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
（3）任意の U ∈ Ψ に対して V^(-1) ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
このとき、任意の U ∈ Ψ に対して WW^(-1) ⊂ U となる W ∈ Ψ がある。
証明
（2）より任意の U ∈ Ψ に対して VV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
（3）より T^(-1) ⊂ V となる T ∈ Ψ がある。
このとき T ⊂ V^(-1) である。
Ψ は G のフィルター基底であるから W ⊂ V ∩ T となる W ∈ Ψ がある。
W ⊂ V ∩ T ⊂ V ∩ V^(-1)
よって、W^(-1) ⊂ V
よって、WW^(-1) ⊂ VV ⊂ U
証明終
0229Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 22:30:05.79G を群とする。
Ψ を G の部分集合から集合で以下の条件を満たすとする。
（1）Ψ は G のフィルター基底（>>218）である。
（2）各 U ∈ Ψ に対して VV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
（3）各 U ∈ Ψ に対して V^(-1) ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
（4）各 U ∈ Ψ と任意の x ∈ G に対して xVx^(-1) ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
（5）各 U ∈ Ψ と任意の x ∈ U に対して xV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
このとき G を位相群にする G の位相で Ψ が G の単位元 e の基本開近傍系となるものが一意に存在する。
証明
>>228より、任意の U ∈ Ψ に対して WW^(-1) ⊂ U となる W ∈ Ψ がある。
W は空でないから x ∈ W となる x がある。
よって、e = xx^(-1) ∈ U
G の各点 x に対して Ψ(x) = {xU；U ∈ Ψ} とおく。
U ∈ Ψ なら e ∈ U だから Ψ(x) が>>227の（1）と (2) を満たすことは明らかである。
U ∈ Ψ、y ∈ xU とする。
y = xz となる z ∈ U がある。
（5）より zV ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
このとき xzV ⊂ xU
よって、yV ⊂ xU
よって、Ψ(x) は>>227の（3）を満たす。
よって、>>227より
X の位相で X の各点 x に対して Ψ(x) が基本開近傍系となるようなものが一意に存在する。
（続く）
0230Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 22:30:40.02この位相で G が位相群になることを示そう。
(x, y) ∈ G×G に xy ∈ G を対応させる写像を f：G×G → G とする。
(x, y) ∈ G×G とする。
任意の U ∈ Ψ に対して WW ⊂ U となる W ∈ Ψ がある。
V ⊂ yWy^(-1) ∩ W となる V ∈ Ψ がある。
y^(-1)Vy ⊂ W だから
xVyV = xyy^(-1)VyV ⊂ xyWW ⊂ xyU
よって、f(xV, yV) ⊂ f(x, y)U
よって、f：G×G → G は連続である。
x ∈ G に x^(-1) ∈ G を対応させる写像を g：G → G とする。
x ∈ G とする。
任意の U ∈ Ψ に対して xVx^(-1) ⊂ U となる V ∈ Ψ がある。
W^(-1) ⊂ V となる W ∈ Ψ がある。
(xW)^(-1) = W^(-1)x^(-1) ⊂ Vx^(-1) ⊂ x^(-1)U
g(xW) ⊂ g(x)U
よって、g：G → G は連続である。
以上から G は上記の位相で位相群となる。
G を位相群にする G の位相で Ψ が G の単位元 e の基本開近傍系となるものがあれば
その位相は G の各点 x で Ψ(x) = {xU；U ∈ Ψ} を x の基本開近傍系とする。
よって、その位相は Ψ で一意に決まる。
証明終
0231Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 23:14:48.36K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
このとき G は標準位相で位相群となる。
証明
L/K の中間体（過去スレpart4の854）E で E/K が有限生成（>>215）となるもの全体を Λ とする。
Ψ = {Aut(L/E)； E ∈ Λ} が>>229の条件を満たすことを示せば良い。
（1）E、F ∈ Λ のとき E と F の合成体 EF は Λ に属す。
このとき、Aut(L/EF) ⊂ Aut(L/E) ∩ Aut(L/F)
（2）,（3）,（5）は Ψ の元が G の部分群であることから明らかである。
（4）E ∈ Λ と σ ∈ G に対して σ(E) ∈ Λ
part1の477より Aut(L/σ(E)) = σAut(L/E)σ^(-1) である。
証明終
0232Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 23:17:25.06>このとき G は標準位相で位相群となる。
このとき G は標準位相（>>216）で位相群となる。
0233Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/05(日) 23:35:33.92K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
このとき G は標準位相でHausdorff位相群となる。
証明
>>231より G は標準位相で位相群となる。
よって、G が標準位相でHausdorffであることを証明すればよい。
L/K の中間体（過去スレpart4の854）E で E/K が有限生成（>>215）となるもの全体を Λ とする。
Ψ = {Aut(L/E)； E ∈ Λ} とおく。
>>231より Ψ は G の単位元 e の基本開近傍系である。
よって、>>59より ∩{Aut(L/E)； E ∈ Λ} = {e} を示せば良い。
L の任意の元 x に対して K(x) ∈ Λ
よって、σ ∈ ∩{Aut(L/E)； E ∈ Λ} なら L の任意の元 x に対して σ ∈ Aut(L/K(x))
よって、σ(x) = x
よって、σ = e
よって、∩{Aut(L/E)； E ∈ Λ} = {e}
証明終
0235Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 01:24:06.71G を位相群とする。
Ψ を G の単位元 e の基本近傍系とする。
{e}~ を {e} の閉包とする。
このとき、∩{U；U ∈ Ψ} = {e}~ である。
証明
x ∈ {e}~ とする。
任意の U ∈ Ψ に対して V ⊂ U^(-1) となる V ∈ Ψ がある。
e ∈ xV だから x^(-1) ∈ V
よって、x ∈ V^(-1) ⊂ U
よって、x ∈ ∩{U；U ∈ Ψ}
逆に x ∈ ∩{U；U ∈ Ψ} とする。
任意の U ∈ Ψ に対して V ⊂ U^(-1) となる V ∈ Ψ がある。
x ∈ V だから x^(-1) ∈ V^(-1) ⊂ U
よって、e = xx^(-1) ∈ xU
よって、x ∈ {e}~
以上から ∩{U；U ∈ Ψ} = {e}~ である。
証明終
0236Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 01:32:10.77G を位相群とする。
Ψ を G の単位元 e の基本近傍系とする。
G がHausdorffであるためには ∩{U；U ∈ Ψ} = {e} となることが必要十分である。
証明
>>58より G がHausdorffであるためには {e} が閉集合であることが必要十分である。
>>235より {e} が閉集合であるためには ∩{U；U ∈ Ψ} = {e} となることが必要十分である。
証明終
0237Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 01:33:57.52命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
このとき G は標準位相（>>216）でHausdorff位相群となる。
証明
>>231より G は標準位相で位相群となる。
よって、G が標準位相でHausdorffであることを証明すればよい。
L/K の中間体（過去スレpart4の854）E で E/K が有限生成（>>215）となるもの全体を Λ とする。
Ψ = {Aut(L/E)； E ∈ Λ} とおく。
>>231より Ψ は G の単位元 e の基本開近傍系である。
よって、>>236より ∩{Aut(L/E)； E ∈ Λ} = {e} を示せば良い。
L の任意の元 x に対して K(x) ∈ Λ
よって、σ ∈ ∩{Aut(L/E)； E ∈ Λ} なら L の任意の元 x に対して σ ∈ Aut(L/K(x))
よって、σ(x) = x
よって、σ = e
よって、∩{Aut(L/E)； E ∈ Λ} = {e}
証明終
0238Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 01:42:33.14命題
K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
このとき G は標準位相（>>216）でHausdorff位相群となる。
証明
>>231より G は標準位相で位相群となる。
よって、G が標準位相でHausdorffであることを証明すればよい。
L に離散位相をいれたとき L^L は直積位相でHausdorffである
G は L^L の部分空間であるから G もHausdorffである。
証明終
0239Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 01:50:22.55K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（過去スレpart4の633）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G は標準位相（>>216）でコンパクト（>>64）である。
証明
>>238より G はHausdorffである。
よって、G が準コンパクト（>>64）であることを証明すれば良い。
各 x ∈ L に対して π_x：L^L → L を射影とする。
即ち f ∈ L^L のとき π_x(f) = f(x) である。
x の K 上の最小多項式を f(X) とする。
f(X) の L における根全体の集合を S_x とする。
任意の σ ∈ G に対して σ(x) ∈ S_x である。
よって、π_x(G) ⊂ S_x
よって、G ⊂ Π[x ∈ L] S_x ⊂ L^L
各 S_x は有限集合だから>>67より離散位相で準コンパクトである。
よって、Tychonoffの定理（代数的整数論009の432）より
Π[x ∈ L] S_x は L^L の準コンパクトな部分空間である。
よって、>>68より G が L^L の閉集合であることを証明すれば良い。
G の L^L における閉包を G~ とする。
f ∈ G~ のとき f ∈ G を証明すれば良い。
任意の x、y ∈ L に対して σ ∈ G があり
f(x) = σ(x)、f(y) = σ(y)、f(x + y) = σ(x + y)、f(xy) = σ(xy) となる。
よって、f(x + y) = f(x) + f(y)、f(xy) = f(x)f(y) である。
x ∈ K なら f(x) = σ(x) = x である。
よって、f：L → L は K-埋め込み（過去スレpart4の514）である。
L/K は代数的であるから過去スレpart4の865より f(L) = L である。
よって、f ∈ G である。
証明終
0240１３２人目の素数さん
2012/02/06(月) 02:01:27.630241Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 02:01:49.65K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
M を L/K の中間体（過去スレpart4の854）とする。
Aut(L/M) ⊂ Aut(L/K) である。
このとき Aut(L/M) の標準位相（>>216）は Aut(L/K) の標準位相の部分位相である。
証明
標準位相の定義（>>216）から明らかである。
0242Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 02:07:09.34K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
M を L/K の中間体（過去スレpart4の854）で M/K は正規拡大（過去スレpart4の844）とする。
過去スレpart4の876より σ ∈ G のとき σ(M) = M である。
よって、G の各元を M に制限することにより写像 ρ：G → Aut(M/K) が得られる。
このとき ρ は標準位相（>>??）で連続である。
証明
H = Aut(M/K) とおく。
σ ∈ G とする。
x_1、．．．、x_n を M の元とする。
V(ρ(σ)；x_1、．．．、x_n) = {τ ∈ H；σ(x_1) = τ(x_1)、．．．、σ(x_n) = τ(x_n)} とおく。
x_1、．．．、x_n を変化させると V(ρ(σ)；x_1、．．．、x_n) は
ρ(σ) の H における基本開近傍系になる。
このとき、ρ^(-1)(V(ρ(σ)；x_1、．．．、x_n)) = U(σ；x_1、．．．、x_n) である。
よって、ρ：G → H は連続である。
証明終
0243Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 02:18:13.78K を可換体とする。
L/K を正規拡大（過去スレpart4の844）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
>>231より G は標準位相で位相群となる。
M を L/K の中間体（過去スレpart4の854）で M/K は正規拡大とする。
>>231より Aut(M/K) は標準位相で位相群となる。
過去スレpart4の876より σ ∈ G のとき σ(M) = M である。
よって、G の各元を M に制限することにより写像 ρ：G → Aut(M/K) が得られる。
ρ の核を N とする。
ρ は群の準同型であるから ρ は群の準同型 ρ~：G/N → Aut(M/K) を引き起こす。
このとき ρ~ は位相群の同型である。
証明
過去スレpart4の887より ρ は全射である。
>>239より G は準コンパクト（>>64）である。
>>238より Aut(M/K) はHausdorffである。
>>242より ρ は連続であるから>>210より ρ~ は位相群の同型である。
証明終
0244Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 02:23:18.78G を群とする。
X を G-集合（>>77）とする。
Y を X の部分集合とする。
G(Y) = {σ ∈ G；全ての y ∈ Y に対して σy = y} と書く。
G(Y) は G の部分群である。
Y が空集合のとき G^Y = G である。
H を G の部分群とする。
X^H = {x ∈ X；全ての σ ∈ H に対して σx = x} と書く。
0245Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 03:09:37.54G を群とする。
X を G-集合（>>77）とする。
X の部分集合全体を P(X) とする。
G の部分群全体の集合を Sub(G) とする。
Y ∈ P(X) に G(Y) ∈ Sub(G) を対応させることにより
写像 g：P(X) → Sub(G) が得られる。
H ∈ Sub(G) に対して X^H を対応させることにより
写像 k：Sub(G) → P(X) が得られる。
P(X) と Sub(G) はそれぞれ包含関係により順序集合となる。
Sub(G)^o を Sub(G) の双対順序集合（代数的整数論021の168）とする。
このとき、(P(X), g, k, Sub(G)^o) はGalois対応（代数的整数論021の642）である。
従って、以下が成り立つ。
（1） 任意の Y ∈ P(X) と任意の H ∈ Sub(G) に対して g(Y) ⊃ H ⇔ Y ⊂ k(H)
（2） Y_1、Y_2 ∈ P(X) で Y_1 ⊂ Y_2 のとき g(Y_1) ⊃ g(Y_2)
（3） H_1、H_2 ∈ Sub(G) で H_1 ⊃ H_2 のとき k(H_1) ⊂ k(H_2)
（4） 任意の Y ∈ P(X) に対して Y ⊂ kg(Y)
（5） 任意の H ∈ Sub(G) に対して H ⊂ gk(H)
（6） 任意の Y ∈ P(X) に対して gkg(Y) = g(Y)
（7） 任意の H ∈ Sub(G) に対して kgk(H) = k(H)
（8）
g の像を Sub(G)^* とおく。
k の像を P(X)^* とおく。
Sub(G)^* = {H ∈ Sub(G)； gk(H) = H} である。
P(X)^* = {Y ∈ P(X)； kg(Y) = Y} である。
g の P(X)^* への制限を g^* とし、k の Sub(G)^* への制限を k^*、すると
g^* と k^* は互いに逆写像である。
（続く）
0246Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 03:10:34.67証明
（1）は自明であるから (P(X), g, k, Sub(G)^o) はGalois対応である。
よって、代数的整数論021の644より （4）,（5）が成り立つ。
代数的整数論021の645より （2）,（3）が成り立つ。
代数的整数論021の656より （6）,（7）が成り立つ。
代数的整数論021の832より (8) が成り立つ。
証明終
0247Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 03:16:27.67K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G の部分群全体の集合を Sub(G) と書く。
G に標準位相（>>216）を入れたとき G の閉部分群全体の集合を CSub(G) とと書く。
L/K の中間体（過去スレpart4の854）全体の集合を Φ(L/K) と書く。
H ∈ Sub(G) に対して L^H（過去スレpart4の863）を k(H) と書く。
k(H) ∈ Φ(L/K) である。
M ∈ Φ(L/K) に対して Aut(L/M) を g(M) と書く。
g(M) ∈ Sub(G) である。
0248Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 03:23:05.04K を可換体とする。
L/K を任意の拡大（過去スレpart4の512）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
M ∈ Φ(L/K)（>>247） に g(M) ∈ Sub(G)（>>247）を対応させることにより
写像 g：Φ(L/K) → Sub(G) が得られる。
H ∈ Sub(G) に k(H)（>>247）を対応させることにより、
写像 k：Sub(G) → Φ(L/K) が得られる。
Φ(L/K) と Sub(G) はそれぞれ包含関係により順序集合となる。
Sub(G)^o を Sub(G) の双対順序集合（代数的整数論021の168）とする。
このとき、(Φ(L/K), g, k, Sub(G)^o) はGalois対応（代数的整数論021の642）である。
従って、以下が成り立つ。
（1） 任意の M ∈ Φ(L/K)と任意の H ∈ Sub(G) に対して g(M) ⊃ H ⇔ M ⊂ k(H)
（2） M_1、M_2 ∈ Φ(L/K) で M_1 ⊂ M_2 のとき g(M_1) ⊃ g(M_2)
（3） H_1、H_2 ∈ Sub(G) で H_1 ⊃ H_2 のとき k(H_1) ⊂ k(H_2)
（4） 任意の M ∈ Φ(L/K) に対して M ⊂ kg(M)
（5） 任意の H ∈ Sub(G) に対して H ⊂ gk(H)
（6） 任意の M ∈ Φ(L/K) に対して gkg(M) = g(M)
（7） 任意の H ∈ Sub(G) に対して kgk(H) = k(H)
（8）
g の像を Sub(G)^* とおく。
k の像を Φ(L/K)^* とおく。
Sub(G)^* = {H ∈ Sub(G)； gk(H) = H} である。
Φ(L/K)^* = {M ∈ Φ(L/K)； kg(M) = M} である。
g の Φ(L/K)^* への制限を g^* とし、k の Sub(G)^* への制限を k^* とすると
g^* と k^* は互いに逆写像である。
証明
>>245の証明と同様である。
0249Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 03:34:09.95G を位相群とする。
H を G の開部分群とする。
このとき H は G の閉部分群である。
証明
G の H による左剰余類全体の集合 G/H とする。
G = ∪{σH；σH ∈ G/H} は G の直和分割である。
>>135より、 任意の σ ∈ G に対して x ∈ X に σx ∈ X を対応させる写像 h_σ：X → X は
位相同型である。
よって、σH は G の開集合である。
よって、G - H は開集合である。
よって、H は閉部分群である。
証明終
0250Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 04:00:22.80K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（過去スレpart4の633）とする。
L/K が有限生成（>>215）であるためには L/K が有限次拡大（過去スレpart4の842）であることが
必要十分である。
証明
必要性：
L/K が有限生成であるとする。
L の有限部分集合 S があり L = K(S)（過去スレpart4の539）となる。
過去スレpart4の607より L = K[S]（過去スレpart4の539）である。
S の各元は K 上代数的であるから過去スレpart4の585より L/K は有限次拡大である。
十分性：
自明である。
証明終
0251Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 04:04:45.05K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（過去スレpart4の633）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G には標準位相（>>216）を入れておく。
L/K の中間体（過去スレpart4の854）E で
E/K が有限次拡大（過去スレpart4の842）となるもの全体を Λ とする。
このとき {Aut(L/E)；E ∈ Λ} は G の単位元の基本開近傍系である。
証明
>>216と>>250より明らかである。
0252Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/06(月) 04:15:22.01K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（過去スレpart4の633）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G に標準位相（>>216）を入れる。
E を L/K の中間体とする。
このとき Aut(L/E)（過去スレpart4の847）は G の閉部分群である。
証明
E/K が有限次のときは、>>251より Aut(L/E) は G の開部分群であるから
>>249より G の閉部分群である。
E/K が有限次でないとする。
>>250より任意の x ∈ E に対して K(x)/K は有限次拡大である。
よって、E は有限次拡大の族 (M_i/K)、i ∈ I の合併集合となる。
Aut(L/M) = ∩Aut(L/M_i) で、各 Aut(L/M_i) は閉集合だから Aut(L/M) も閉集合である。
証明終
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