命題
G を位相群とする。
G は位相空間 X に連続に作用するとする（>>134）。
R を X における同値関係で G の作用と両立する（>>138）とする。
π：X → X/R を標準写像とする。
このとき σ ∈ G、x ∈ X のとき σπ(x) = π(σx) と定義することにより G は X/R に作用する。
R が開同値関係（>>137）ならこの作用は連続である。

証明
f：G×X → X を f(σ, x) = σx で定義される写像とする。
G は X に連続に作用するから f は連続である。
g：G×(X/R) → X/R を g(σ, π(x)) = π(σx) で定義される写像とする。
g が連続であることを証明すれば良い。

h：G×X → G×(X/R) を h(σ, x) = (σ, π(x)) で定義される写像とする。
(σ, x) ∈ G×X のとき
πf(σ, x) = π(σx)
gh(σ, x) = π(σx)
よって、πf = gh である。
即ち次の図式は可換である。

G×X　　　→　X
　↓　　　　　↓
G×(X/R)　→　X/R

U を X/R の任意の開集合とする。
πf は連続だから (πf)^(-1)(U) = f^(-1)(π^(-1)(U)) は G×X の開集合である。
πf = gh だから V = h^(-1)(g^(-1)(U)) は G×X の開集合である。
>>141より h は開写像であるから h(V) は G×(X/R) の開集合である。
h は全射だから h(V) = g^(-1)(U) である。
よって、g は連続である。
証明終