補題
X_i、i = 1、2
Y_i、i = 1、2
を位相空間とする。
f_i：X_i → Y_i、i = 1、2 を開写像とする。
このとき (x_1, x_2) ∈ (X_1)×(X_2) に (f_1(x_1), f_2(x_2)) ∈ (Y_1)×(Y_2) を対応させる写像
(f_1)×(f_2)：(X_1)×(X_2) → (Y_1)×(Y_2) は開写像である。

証明
f = (f_1)×(f_2) とおく。
U_i を X_i （i = 1、2）の開集合としたとき、
(U_1)×(U_2) の形の集合全体は (X_1)×(X_2) の開集合の基底である。
仮定より f_i(U_i) は Y_i （i = 1、2）の開集合である。
よって、f((U_1)×(U_2)) = f_1(U_1)×f_2(U_2) は (Y_1)×(Y_2) の開集合である。
よって、>>139より f は開写像である。
証明終