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巨大基数の集合論とその応用

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0001Wopenka2012/01/10(火) 17:40:59.50
最近 Vopěnka's principle が圏論・ホモトピー論・導来圏などで良く出て来ている。

http://www.forthelukeofmath.com/documents/barcelona_talk_notes.pdf
http://www.imub.ub.es/hocard11/Problems.pdf
http://www.imub.ub.es/hocard11/Gutierrez.pdf

などの至る所に出てくる。 Vopěnka's principle を中心に巨大基数一般とその応用を語ろう。
0002Wopenka2012/01/10(火) 19:23:24.82
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0702/0702294v1.pdf
はどうなんだろ
0003１３２人目の素数さん2012/01/10(火) 20:05:23.68
>>2
無限アーベル群論との関係は以前から考えられていた様だが
Shelah が他人の論文を引用する時は結構いい加減だな。
0004１３２人目の素数さん2012/01/10(火) 22:22:19.96
シェラハに相当する日本人数学者て誰？
0005１３２人目の素数さん2012/01/10(火) 22:24:42.17
難しい単語ならんでる
0006１３２人目の素数さん2012/01/10(火) 22:50:08.50
http://www.imub.ub.es/hocard11/
昨年九月だからそんな古い事では無い。いや、最新情報と云っても良いかも知れない。
0007１３２人目の素数さん2012/01/10(火) 23:00:46.53
>>6
>http://www.imub.ub.es/hocard11/
現時点で Google rank 5 だから、特殊な分野にしては大したもんだ。
0008１３２人目の素数さん2012/01/10(火) 23:14:03.03
>>4
>>6-7
読みにくい名前が並んでいるが、唯一日本人
Sakaé Fuchino, Kobe University
の名前があった。
0009１３２人目の素数さん2012/01/11(水) 00:42:50.88
shelaha
0010１３２人目の素数さん2012/01/11(水) 01:48:11.29
基礎論スレでやれ。クソスレ立てんなよ
0011１３２人目の素数さん2012/01/11(水) 03:36:49.12
罵るしか能のない奴はスルー
0012１３２人目の素数さん2012/01/12(木) 01:18:39.79
数学基礎論・数理論理学　その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
の奴らは
http://www.imub.ub.es/hocard11/
のような研究集会があった事すら知らん奴が多いようだな
可哀想な数学を知らない人達・・・
0013１３２人目の素数さん2012/01/12(木) 01:33:28.97
罵るしか能のない奴はスルー
0014１３２人目の素数さん2012/01/12(木) 17:49:17.07
A. カナモリ、巨大基数の集合論、渕野 昌 訳、Springer 東京
は、今手に入るかな？
0015１３２人目の素数さん2012/01/12(木) 17:50:04.67
古本
0016１３２人目の素数さん2012/01/12(木) 20:35:45.30
>>14
今、図書館で借りてきた。発行年は書いてないが、1997 に改訂版が発行され、翌 1998 に著者の金森 昌洋の更なる改訂を含めて渕野 昌が訳した物で、560p にも及ぶ大著だ。

図書館で購入した年代は分からないが、大分埃をかぶっていたので、おそらく誰も借りて読んだことがなかったのだろう。

序論だけざっと見たが、とても面白そうだ。当然ながら n-膨大基数やヴォピェンカの原理も出てくる。
この本をテキストにして輪講をやろうではないか。
0017１３２人目の素数さん2012/01/12(木) 21:17:04.29
テキスト持ってねーよバカ
0018１３２人目の素数さん2012/01/12(木) 21:36:55.74
導来圏の理論で出て来るというのは初耳

>>14>>17
原著は二版が安価で出てるから英語版買うと良いよ
日本語しか読めないのじゃどうせこの先に進めない
0019１３２人目の素数さん2012/01/13(金) 00:22:55.41
>>18
＞導来圏の理論で出て来るというのは初耳
既に出て来た
http://www.imub.ub.es/hocard11/Gutierrez.pdf
の中段以降にもあるし、
Wolcott, Iyengar and Krause, さらには
Oddball Bousfield classes - A.Neemanなどにもある。
Neeman が自著 Triangulated categories で Shelah に acknowledgement を書くのも分かる。
0020１３２人目の素数さん2012/01/13(金) 12:50:38.88
>>17
英訳注文するからやろうぜ
0021162012/01/13(金) 16:17:09.99
訳者はしがきより

(前略)
日本語圏ではこの分野の研究者がそれ程多くないことや、
・・・(中略)・・・
大学での講義が皆無に等しい・・・
・・・・・・ｗ
0022162012/01/13(金) 16:26:06.84
「巨大基数の表」のページには 29 種類の巨大基数と、
それらの間の導出関係が図になっている。
コピーしてアップロードしようか？
今日中にアップするから検索して見つけてくれ。
0023１３２人目の素数さん2012/01/14(土) 10:34:31.54
Vopěnka って、何人？
0024１３２人目の素数さん2012/01/14(土) 11:24:27.70
Javier J. Gutiérrez
Universitat de Barcelona
(joint work with Carles Casacuberta and Jiˇrí Rosický)
CSASC 2011
Krems, Austria, 25-28 September, 2011

読めない
0025１３２人目の素数さん2012/01/14(土) 19:16:09.01
その表の真ん中あたりに可測基数が出てくるが、
矢張りこれがより中心的な話題なのかな？
確かに可測基数の存在を仮定すれば代数や幾何の諸分野で
色々な例・反例が構成出来るが。
0026１３２人目の素数さん2012/01/14(土) 21:10:15.26
ちなみに一番上は矛盾だからこれから全てが出る
0027１３２人目の素数さん2012/01/14(土) 23:35:30.02
一番下は自明だから全ての項目から従う。
0028１３２人目の素数さん2012/01/15(日) 10:32:32.21
定義を調べてみると、上の方ほど複雑長大で少し宛簡単になっていき、
可測基数の所で定義の長さが一旦極小になる。

その直後は極めて長い定義となり、また少しずつ短くなっていく。

可測基数はある意味で一つの区切りなのだろうか？
0029１３２人目の素数さん2012/01/19(木) 12:37:39.03
>>23
Vopěnka はチェコ人
0030１３２人目の素数さん2012/01/19(木) 18:07:20.23
無限基数は適当な順序数 α によって一意的にアレフ_α と書かれるから、
巨大基数を考えるのと巨大順序数を考えるのはある意味同じ事になる。
しかし巨大順序数はあまり聞かない。large ordinal でググっても結果はいまいち。

集合論の入門書を見ても、先ず濃度 (基数) の解説があり、その後に順序数が来ている。
論理的には順序数の方がより基本的だと思うのだが。
(学びやすさという面から見れば基数が先で良いと思うが。)
0031１３２人目の素数さん2012/01/19(木) 19:19:56.54
次の様な基数は存在するか？存在したら何と呼ばれているか

X をその基数を持つ集合とする。X の部分集合全体のなす σ-集合族に対し、
[0, 1] - valued measure μ で、μ は [0, 1] の任意の元を値に取りうるものが存在する。
0032１３２人目の素数さん2012/01/20(金) 10:33:53.89
人間誰でも分からない事はある。小平邦彦が自著で
「基礎論を学ぼうとしたが、forcing の概念がどうしても分からず、あきらめた」
と述べて居る。
大学に入って、対角線論法がどうしても分からず、数学をあきらめた学生に似ている。

私は個人的には、より model-theoretic な、 infinite forcing や finite forcing が好きだが。
0033１３２人目の素数さん2012/01/20(金) 13:40:34.61
ultra filter, ultra product の概念は様々に拡張されていて、代数などの諸分野に応用されているのに
measurable ultra filter のそれらに対応する拡張が容易に出来ないのは何故？
0034１３２人目の素数さん2012/01/20(金) 20:39:04.02
>>32
forcingが分かっても小平爺を越えたことにはならない。
0035１３２人目の素数さん2012/01/22(日) 13:45:01.29
「圏」の一文字を含むスレが複数立っているが、
既に常識化されているモデル圏や局所化については一言も触れられていない。
最近の話題である導来圏の Bousfield 束
http://forthelukeofmath.com/documents/2012_beamer_JMM_research.pdf#search=%27derived%20category%20Bousfield%20ckass%20Wolcott%27
等に付いては誰も全く知らない。
0036１３２人目の素数さん2012/01/24(火) 17:35:44.92
Robinson が微分代数的閉体の概念を導入し、任意の微分体は微分代数的閉体に埋め込まれる事を示した。
だが、その定義は複雑な物であった。Blum が簡明な (同値な) 定義を与えた。
しかし、代数的閉包と違い、微分代数的閉包が一般に存在しない事を示したのは Shelah で、発表した雑誌は Topology だった。
0037１３２人目の素数さん2012/01/24(火) 18:55:32.25
>>36
へえ(*^ ^*) ほお(*^o^*)
参考になります。
埋め込まれる先の微分代数的閉体は存在するのかな？
それが閉包にならないというのは、
微分方程式の解を付加しつづけても
部分体にしかならないということ？

解を付加し続けた極限
F = ∪_[i ∈ I] F_i
を作っても閉包にならないん？
0038１３２人目の素数さん2012/01/24(火) 20:30:51.80
>>36
Wikipedia の記述とはだいぶ違うな。
0039362012/01/24(火) 21:28:16.33
＞解を付加し続けた極限
＞F = ∪_[i ∈ I] F_i
＞を作っても閉包にならないん？
存在については第一行で述べた。

但し、その中で包含関係について極小 (最小) な物は一般に存在しない。
0040362012/01/24(火) 21:32:25.33
「解」は一般に任意定数を幾つか含むから、
ここが代数的閉包の存在のための代数的な難点になる。
0041１３２人目の素数さん2012/01/24(火) 22:02:38.97
「一般的に」ということは、
一意な閉包を持つ場合もあれば
持たない場合もあるということかな？

シロウトとして最初は
定数体が複素数体の場合に興味があるけどどうなんだろう。

何かreferenceあったら教えて下さい
0042１３２人目の素数さん2012/01/24(火) 23:39:44.93
元々が微分代数閉体なら、それ自身が自身の微分代数閉包になる。
0043１３２人目の素数さん2012/01/25(水) 12:43:51.17
>>38
wiki は existentially closed で定義している。例えば
existentially closed division rings でググると色々出てくる。
この概念は群やリー環など他の代数系にも使えるので便利だが、
この定義を微分体に使うと定理の導出が面倒になり、
結局は Blum の定義と同じであることを実質的に示すことになる。
0044１３２人目の素数さん2012/01/25(水) 12:51:33.87
>>41
複素数体 C (微分は恒等的に 0) の微分代数的閉包の存在は知られているが、
同型を除いて一意であるかどうか迄は分かって居ないと思う。
書物はあまりないが、 Kolchin の differential algebra, A.P. が基本的であろう。
一寸分厚いが。
0045412012/01/25(水) 14:15:44.14
ありがとう
0046１３２人目の素数さん2012/01/25(水) 19:14:24.37
ちなみに、existentially closed division rings の概念が公理的に定義可能かどうかは知られていない。
0047１３２人目の素数さん2012/01/25(水) 19:41:58.53
少なくとも代数閉体の様に
一次方程式は根を持つ、
二次方程式は根を持つ、
三次方程式は根を持つ、
・・・・・
のような公理の単純無限系列では表せない。
0048１３２人目の素数さん2012/01/25(水) 21:28:07.88
Who is
http://en.wikipedia.org/wiki/Shelah_%28son_of_Judah%29
?
0049１３２人目の素数さん2012/01/25(水) 21:32:29.53
それは旧約聖書に出て来る人物だったかと思う。
別にShelahに限らず欧米の人名は聖書に出て来る人名を取ってることが多いよ

SamuelだとかIssacだとかAbelだとかetc.,
0050１３２人目の素数さん2012/01/27(金) 14:49:12.09
existentially closed n - nilpotent groups の概念は公理化可能であることが分かって居る。
n = 1, 即ちアーベル群の場合は、それがdivisible なる事である。
一般の n に対する簡単な公理は知られていない。
0051１３２人目の素数さん2012/01/27(金) 19:16:22.05
任意の集合 Λ に対して、アーベル群の族 { A_λ | λ ∈ Λ } で
A_λ ≠ 0,
Hom (A_λ, A_μ) = A_λ (アーベル群として同型) if λ = μ,
= 0 if if λ ≠ μ
を満たす物が存在することを示せ。
0052１３２人目の素数さん2012/01/27(金) 21:42:03.02
これから Stanley の定理が出る。
Shelah はもう少し弱い version を示している。
0053１３２人目の素数さん2012/01/27(金) 23:29:13.41
On Numbers and Games について少し考察してみよう。
例えば、 I を環 R のイデアルとする。この時、 I の n - 冪 I^n が定義され、
それら全体の交わりとして I^ω = ∩ [n = 1 → ∞ ] I^n
が定義される。ここで注意しなければならないのは一般に I・I^ω ≠ I^ω・I なる事である。
順序数では、 1 + ω = ω ≠ ω + 1 となるが、
ω，1 + ω, ω + 1 が相異なる数の体系を考えなければいけない。
0054名無しさん2012/01/31(火) 14:14:44.28ID:udTBsDng
これは超現実数の別の見方にも通ずる。
0055名無しさん2012/02/01(水) 10:27:17.90ID:???
Non-standard Analysis を超準解析と訳したのが良かったどうか。
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/9-15
のように超準実数体系を一つだと勘違いする奴が出てくる。
0056名無しさん2012/02/01(水) 10:47:11.30ID:???
>>55
隔離されているんだから外の世界を気にしちゃだめ
0057１３２人目の素数さん2012/02/01(水) 16:58:58.21
>>48
Ihoda も出てくる。スターウォーズより面白くなってきた。
0058１３２人目の素数さん2012/02/03(金) 21:34:51.01
Ihoda, Jaime (Haim Judah), and S.S.,
Δ_2^1 - sets of reals, APAL 42 (1989), pp. 207-223
0059１３２人目の素数さん2012/02/04(土) 21:25:11.05
banana3166.maido3.com
banana3703.maido3.com
からアクセスがあった。
0060１３２人目の素数さん2012/02/07(火) 07:16:17.35
>>http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/9241201701/6
0061１３２人目の素数さん2012/02/15(水) 14:13:23.37
到達不可能基数が人間に作れないほど大きい次元の無限なら
更に大きい基数はどんな感じになるんだ？
マーロ基数〜超膨大基数まで数学初心者にも解りやすく説明できる人いる？
0062１３２人目の素数さん2012/02/18(土) 22:16:52.62
「到達不可能基数」と言うのは単なる数学用語で、文字通りの意味は無い。
0063１３２人目の素数さん2012/03/06(火) 19:44:54.60
小さな巨大基数 (順序数) についても論じよう。
α を順序数とし、α 番目の弱到達不能な順序数を A_α と書く。
A_α = α なる最初の α が小さな巨大順序数である。
その濃度が小さな巨大基数となる。
0064あのこうちやんは始皇帝だった2012/03/06(火) 19:55:03.08

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！
　
　ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！
0065猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY 2012/03/06(火) 20:56:41.54
>>64
コラ、何してんねん。今夜もシッカリと仕事をせえや。全部焼き払えや。

猫
0066１３２人目の素数さん2012/03/06(火) 22:35:50.31
あっちのスレは独創性が無いなぁ
0067猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY 2012/03/06(火) 23:40:13.20
こっちのスレ『も』独創性が無いなぁ

猫
0068１３２人目の素数さん2012/03/06(火) 23:53:36.60
>>63
は GHC を覆す。そんなこともワカランのか？
猫はだの猫　静かにしていろ
0069猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY 2012/03/07(水) 00:02:34.17
>>68
ワシが静かにしてるワケはナイやろ。そんな事は当然に判ってるわナ。

猫
0070１３２人目の素数さん2012/03/07(水) 04:43:21.67
GHCって化粧品メーカーとかじゃなかったっけ
0071１３２人目の素数さん2012/03/08(木) 23:32:37.30
GCH だった。
0072１３２人目の素数さん2012/03/09(金) 23:43:26.39
>>69
>>ワシが静かにしてるワケはナイやろ
GHC が GCH の typo である事が分からなかった点で猫は基礎論に無知である事が分かった。
0073１３２人目の素数さん2012/03/10(土) 02:48:47.09
しかもGCHを覆さないしｗ
0074１３２人目の素数さん2012/03/10(土) 08:30:37.53
確かにそうだったｗ
0075１３２人目の素数さん2012/03/10(土) 21:13:43.27
猫ちゃんは知ったかしてたのねｗ
0076１３２人目の素数さん2012/03/11(日) 22:37:54.03
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1329955461/205-208
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/497-502
みんないい加減な事ばかり書いている。
0077１３２人目の素数さん2012/03/14(水) 18:18:11.16
http://www.dmg.tuwien.ac.at/OMG/OMG-Tagung/docs/Schedule_CatAlgebra.pdf
0078１３２人目の素数さん2012/03/17(土) 16:38:49.73
Greg Stevenson って、今何歳ぐらい？ Luke Wolcott は？
0079１３２人目の素数さん2012/03/20(火) 06:25:33.99
最近の注目
http://www.math.uni-bielefeld.de/~gstevens/Ohkawa_thm_paper.pdf#search=%27Bousfield%20Clases%20Ohkawa%27
http://atlas.mat.ub.es/personals/jgutier/csasc2011.pdf
0080１３２人目の素数さん2012/03/20(火) 06:31:44.66
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0082１３２人目の素数さん2012/03/20(火) 06:46:03.24
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0083１３２人目の素数さん2012/03/21(水) 10:49:58.33
連続体仮説には反例があるというのがもはや基礎論研究者の共通認識となりつつ有る。
0084１３２人目の素数さん2012/03/22(木) 06:15:14.85
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0085１３２人目の素数さん2012/03/25(日) 23:09:31.46
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0086１３２人目の素数さん2012/03/25(日) 23:44:21.65
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0087１３２人目の素数さん2012/04/21(土) 09:42:32.30
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0088１３２人目の素数さん2012/04/21(土) 09:59:29.14
>>83
反例というか
2^ω＝2^ω_1
これは本当っぽい結果。
0089１３２人目の素数さん2012/04/21(土) 11:01:10.31
>>83
げー出るが具体的に示してなかったっけ？
0090１３２人目の素数さん2012/04/21(土) 18:07:44.68
反例という言い方をするかね
0091１３２人目の素数さん2012/04/21(土) 21:26:32.96
ゲーデルが不自然な結果だと思った記述集合論的なCHの帰結って
どうして彼が不自然だと思ったのか今でも良く分かってないんじゃなかったっけ
0092１３２人目の素数さん2012/04/22(日) 23:46:45.29
基礎論に必要な独自の圏論を構成していこう。
ほかのスレのような丁寧な解説はしない。

圏 C の射 f ： X → Y に対しその像 g ： X → I を次のように定義する。

i) 任意の Z と任意の p, q ： Z → X に対して

" もし f o p = f o q なら g o p = g o q "

ii) g' ： X → I' で i) を満たす物が存在すれば
i ： I'→ I で、i o g = g' なる i が一意に存在する。

それと dual に f ： X → Y の余像 k ： J → Y が定義出来る。

射 f ： X → Y に対しその像 g ： X → I, 余像 k ： J → Y
が存在すれば、自然な射 m ： I → J で、 f = k o m o g なる物が有る。

さて、任意の射が像と余像を持ち、上記 m が同形射である時
C を完全圏という。

http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_category
にある
Exact category
とは違う事に注意して戴きたい。
0093１３２人目の素数さん2012/04/22(日) 23:55:07.97
age
0094１３２人目の素数さん2012/04/30(月) 09:02:38.75
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0095１３２人目の素数さん2012/04/30(月) 13:06:18.33
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0096１３２人目の素数さん2012/05/02(水) 01:07:48.88
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0100１３２人目の素数さん2012/05/27(日) 07:46:14.97
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0101１３２人目の素数さん2012/05/29(火) 08:54:01.97
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0102１３２人目の素数さん2012/05/30(水) 12:12:25.22
公理的集合論の問題です。
次の三条件を満たす X が存在する事を公理的集合論の公理から示せと言う問題が良く分かりません。

i) φ ∈ X
ii) ∀x ; x ∈ X ⇒ {x}
iii) 上記の i), ii) を満たす任意の X' に対し、X ⊂ X'

どなたか宜しくお願いします。
0103訂正です。2012/05/30(水) 17:17:46.21
公理的集合論の問題です。
次の三条件を満たす X が存在する事を公理的集合論の公理から示せと言う問題が良く分かりません。

i) φ ∈ X
ii) ∀x ; x ∈ X ⇒ {x} ∈ X
iii) 上記の i), ii) を満たす任意の X' に対し、X ⊂ X'

どなたか宜しくお願いします。
0104１３２人目の素数さん2012/05/31(木) 06:50:22.94
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0105１３２人目の素数さん2012/05/31(木) 19:20:53.14
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0106１３２人目の素数さん2012/06/01(金) 01:21:45.86
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0107１３２人目の素数さん2012/06/01(金) 05:12:28.76
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0108１３２人目の素数さん2012/06/01(金) 13:15:52.57
>>103
無限公理や置換公理を使って構成しろってことだろ。
公理がどう表現されてるか知らんけど。
0109１３２人目の素数さん2012/06/01(金) 17:31:05.99
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0110１３２人目の素数さん2012/06/01(金) 20:18:17.37
>>108
公理系は ja,wiki
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
にあるものを使います。
0111１３２人目の素数さん2012/06/01(金) 20:33:41.88
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0112１３２人目の素数さん2012/06/02(土) 02:18:12.73
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0113１３２人目の素数さん2012/06/02(土) 13:48:58.25
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0114１３２人目の素数さん2012/06/02(土) 14:18:39.47
>>103
「無限公理」で存在する無限集合から「冪集合の公理」で冪集合を作って、そこから最小の無限集合を選ぶ。
それを自然数の集合として、X1={φ},X2={φ,{φ}},X3={φ,{φ},{{φ}}},…,Xn (n:自然数) を作る。
( Xn={x(n,1),…,x(n,n)}, x(n,1)=φ, x(n,k＋1)={x(n,k)} とする )
「置換公理」で {X1,X2,・・} を作って「和集合の公理」で X を作る。
0115１３２人目の素数さん2012/06/02(土) 14:23:46.13
x(1)=φ, x(k＋1)={x(k)} で充分だった。
0116１３２人目の素数さん2012/06/03(日) 17:29:47.30
>>114-115
ありがとうございます。でも … と言う記号や、自然数と言うものは使ってはいけないんです。
純粋に公理から証明しなければいけないんです。
0117１３２人目の素数さん2012/06/20(水) 02:15:17.11
>>114-115 は馬鹿
0118１３２人目の素数さん2012/06/20(水) 15:13:41.92
そういう君は？
0119１３２人目の素数さん2012/07/10(火) 01:34:00.59
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/Bousfield_localization.html
一方,任意の一般コホモロジー論に関するlocalizationが存在するかどうかというのは,長い間openproblemだったようである。

無知のさらけ過ぎ
0120１３２人目の素数さん2013/04/21(日) 23:22:25.98
八巻正治音頭

あの時　あの駅　あのプール ホイ
日本一の　リリカルシティ
友に笑われ　身内を磨く サテ
やさぐれた歌が　聞こえてくる街

ハンハンハハハン
　
喫茶店の数では　勝ち目が無い

ハンハンハハハン

投げやり地蔵に　願いを込めて
八巻正治音頭でララライライ
八巻正治音頭でヒュールリラ
八巻正治音頭でララライライ
八巻正治音頭でヒュールリラ
0121１３２人目の素数さん2013/11/26(火) 23:11:18.60
５の次を無限大と設定したら、その世界での最大の数は５になる。
５に１を足すと∞になる。でも∞から１を引いても∞。
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