命題
K を可換体とする。
K の標数（>>667）を p ＞ 0 とする。
L/K を拡大（>>512）とする。
α を L の元で K 上代数的（>>553）とする。
α の K 上の最小多項式を f(X) とする。
E/K を f(X) の分解体（>>538）とする。
このとき、α が K 上純非分離（>>859）であるためには
f(X) が E において α 以外の根を持たないことが必要十分である。

証明
必要性：
α が K 上純非分離であるとする。
α^(p^e) ∈ K となる整数 e ≧ 0 がある。
a = α^(p^e) とおく。
過去スレpart1の219より E[X] において X^(p^e) - a = (X - α)^(p^e) であるから
α は X^(p^e) - a の E における唯一の根である。
f(X) は X^(p^e) - a の因子であるから α は E における f(X) の唯一の根である。

十分性：
f(X) が E において α 以外の根を持たないとする。
>>882より、f(X) = (X - α)^(p^e) となる整数 e ≧ 0 がある。
このとき、α^(p^e) ∈ K だから α は K 上純非分離である。
証明終