命題
K を可換体とする。
L を K の拡大体とする。
S を L の空でない部分集合とする。
S の空でない有限部分集合全体を Φ とする。
K(S)（>>539）= ∪{K(T)； T ∈ Φ} である。

証明
E = ∪{K(T)； T ∈ Φ} とおく。
α、β ∈ E とする。
α ∈ K(T_1)、β ∈ K(T_2) となる T_1、T_2 ∈ Φ がある。
T_1 ∪ T_2 ∈ Φ で α、β ∈ K(T_1 ∪ T_2) ⊂ E である。
よって、α + β、α - β、αβ ∈ K(T_1 ∪ T_2) ⊂ E である。
1 ∈ K ⊂ E であるから E は L の部分環である。
γ ∈ E、γ ≠ 0 のとき γ ∈ K(T) となる T ∈ Φ がある。
1/γ ∈ K(T) ⊂ E だから E は L の部分体である。
K ⊂ E、S ⊂ E だから K(S) ⊂ E である。
逆の包含関係は明らかだから K(S) = E である。
証明終