命題
A を可換環とする。
H を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
E は A-加群として自由で (e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底とする。
F は A-加群として自由で (f_j)、j ∈ J を F の A 上の基底とする。
λ：E※F → H を標準射（>>712）とする。
このとき λ が単射であるためには
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J が A 上線型独立であることが必要十分である。

証明
必要性：
λ が単射であるとする。
Σ[i, j] a_(i, j)e_if_j = 0 とする。
ここで各 a_(i, j) ∈ A で {(i, j) ∈ I×J；a_(i, j) ≠ 0} は有限集合である。
x = Σ[i, j] a_(i, j)e_i※f_j とおく。
λ(x) = Σ[i, j] a_(i, j)e_if_j = 0
λ は単射であるから x = Σ[i, j] a_(i, j)e_i※f_j = 0
>>773より各 a_(i, j) = 0
よって、(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J は A 上線型独立である。

（続く）