命題
A を可換環とする。
H を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
E は A-加群として自由で (e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底とする。
λ：E※F → H を標準射（>>712）とする。
このとき λ が単射であるためには
(e_i)、i ∈ I が F 上線型独立であることが必要十分である。

証明
必要性：
λ：E※F → H は単射であるとする。
>>410と過去スレpart3の887より E※F の任意の元 x は x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで、{i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
(y_i)、i ∈ I を F の元の族で {i ∈ I；y_i ≠ 0} は有限で Σe_iy_i = 0 とする。
y = Σe_i※y_i とおく。
λ(y) = Σe_iy_i = 0 である。
λ は単射だから y = Σe_i※y_i = 0 である。
よって、上記から各 y_i = 0 である。
よって、(e_i)、i ∈ I は F 上線型独立である。

十分性：
(e_i)、i ∈ I は F 上線型独立であるとする。
>>410と過去スレpart3の887より E※F の任意の元 x は x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで、{i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
λ(x) = 0 とする。
λ(x) = Σe_ix_i = 0
仮定より各 x_i = 0 である。
よって、x = 0 である。
よって、λ は単射である。
証明終