拡大体の族 (E_i)、i ∈ Iの添え字集合Iを多項式全体としてみました。
以下、別証明の方針。
IをK係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体のなす集合とする。
E_iを、多項式i＝ｆの分解体とする。
532 を用いる。
532により、K の拡大体 L がえられ、532の条件が成り立つ。
K-埋め込み σ_iによる像は、同型を導くので、体E_iと同一視する。
体E_iの和集合Tは、体であり、
T係数の定数でない任意の１変数多項式が T において根を持つ。
よって、E_iの和集合T は代数的閉包である。
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こんなんでどうですか｡