命題
A を可換環とする。
M、N を A-加群とする。
n ≧ 1 を整数とする。
f ∈ Alt(M^n、N)（>>777）とする。
σ を {1、．．．、n} の任意の置換とする。
ε(σ) を σ の符号とする。
このとき任意の (x_1、．．．、x_n) ∈ M^n に対して
f(x_σ(1)、．．．、x_σ(n)) = ε(σ)f(x_1、．．．、x_n) である。

証明
σ が互換 (i, j) のときに本命題を証明すれば良い。
σ は互換 (1, 2) と仮定して一般性を失わない。

0
= f(x_1 + x_2、x_1 + x_2、x_3、．．．、x_n)
= f(x_1、x_1 + x_2、x_3、．．．、x_n) + f(x_2、x_1 + x_2、x_3、．．．、x_n)
= f(x_1、x_1、x_3、．．．、x_n) + f(x_1、x_2、x_3、．．．、x_n)
+ f(x_2、x_1、x_3、．．．、x_n) + f(x_2、x_2、x_3、．．．、x_n)
= f(x_1、x_2、x_3、．．．、x_n) + f(x_2、x_1、x_3、．．．、x_n)

よって、
f(x_1、x_2、x_3、．．．、x_n) = -f(x_2、x_1、x_3、．．．、x_n)
証明終