命題
A を可換環とする。
E と F を A-加群とする。
E は A-加群として A 上の基底 (e_i)、i ∈ I を持つとする。
F は A-加群として A 上の基底 (f_j)、j ∈ J を持つとする。
このとき (e_i※f_j)、(i, j) ∈ I×J は E※F（>>401）の A-加群としての基底である。

証明
E※F の任意の元は x※y、x ∈ E、y ∈ F の形の元の有限和であるから
E※F は A-加群として (e_i※f_j)、(i, j) ∈ I×J で生成される。

Σ[i, j] a_(i, j)(e_i※f_j) = 0 とする。
ここで a_(i, j) ∈ A で {(i, j) ∈ I×J；a_(i, j) ≠ 0} は有限集合である。
各 i ∈ I に対して y_i = Σ[j] a_(i, j)f_j とおく。
Σ[i] e_i※y_i = Σ[i] e_i※(Σ[j] a_(i, j)f_j) = Σ[i] Σ[j] a_(i, j)(e_i※f_j) = 0
>>410と過去スレpart3の887より各 y_i = 0 である。
よって、各 a_(i, j) = 0 である。
よって、(e_i※f_j)、(i, j) ∈ I×J は E※F の A 上の基底である。
証明終