命題
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
λ：E※F → H を標準射（>>712）とする。
λ が K-線型環としての同型であるためには
E の K 上の基底で、それが H の F-左加群または F-右加群としての基底であるものが存在することが
必要十分である。

証明
必要性：
λ：E※F → H が K-線型環としての同型であるとする。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
E と F は K 上線型無関連（>>713）であるから
>>723より (e_i)、i ∈ I は F 上線型独立である。

y ∈ H を任意の元とする。
λ は全射だから y = λ(x) となる x ∈ E※F がある。
過去スレpart1の887より x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで {i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
このとき y = λ(x) = Σe_ix_i である。
よって、(e_i)、i ∈ I は H の F-右加群としての基底である。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるから
(e_i)、i ∈ I は H の F-左加群としての基底でもある。

（続く）